Курс лекций по дисциплине «Основы системного анализа и моделирование технологических процессов»

T
в 
некоторые фиксированные моменты 
t
1
, t
2
,... наблюдаются значения функции 
f(t
1
), f(t
2
),... Требуется восстановить ее значение в другие моменты. Пусть из 
каких-либо соображений известен вид функции 
f(t,a
1
,a
2
,..,a
m
)
, где 
a
1
, 
a
2
,…, 
a
m
– неизвестные коэффициенты. Если коэффициенты определяются из условия 
совпадения 
f(t)
в точках 
t
1
, t
2
,... с данными наблюдений, то имеет место способ 
приближения, называемый интерполяцией. Ясно, что для вычисления 
параметров функции необходимо определенное число наблюдений 
(измерений) в зависимости от вида искомой функции. Так, для определения 

---

коэффициентов полинома n-ой степени необходимо (в детерминированном 
случае) не менее n+1 наблюдений.
Если вид функций заранее неизвестен, приходится прибегать к оценке 
выдвигаемых гипотез о виде функции. Поскольку обычно значения функций в 
точках наблюдения определяются с ошибками, возникает задача наилучшего 
в каком-либо смысле приближения к реальной зависимости при минимальном 
(или заданном) числе измерений и конкретном виде (спектре) ошибок 
наблюдения. Проблема минимизации ошибок вычисления параметров 
искомой функции рассматривается в теории вероятностей. При этом 
необходимо учитывать наличие ошибок двух видов: систематических – 
следствие несовпадения выбранной аналитической функции реальной 
зависимости и случайных – результат ошибок единичных замеров, которые на 
интервале наблюдения могут иметь различный спектральный состав. 
С целью снижения случайных составляющих увеличивается интервал 
наблюдения и количество измерений, но это далеко не всегда дает желаемый 
результат. Может оказаться, что на интервале наблюдения процесс не 
стационарен, т.е. аппроксимируемая функция на интервале наблюдения 
меняет свой вид, при этом появляется еще один источник систематических 
ошибок. Качество сглаживания случайных составляющих не однозначно 
связано с количеством измерений на интервале наблюдения, поскольку 
зависит от спектрального состава ошибок измерения. Для учета различных 
обстоятельств разработаны специальные алгоритмы. 
Продолжение полученной в результате приближения функции за 
пределы интервала наблюдения называется экстраполяцией. Известно, что 
всякое научное представление есть экстраполяция (с наблюдаемых ситуаций 
на ненаблюдаемые, с измеренных величин на неизмеренные и т.д.).
Систематическое использование методов экстраполяции может служить 
признаком зрелости той или иной области знаний как науки. Задача 
экстраполяции значительно, порой принципиально, усложняется, если на 
интервале экстраполяции условия существования системы меняются.
Прогнозирование можно рассматривать как расширение понятия 
экстраполяции на общий случай существования системы в будущем, в том 
числе, когда условия существования системы – характер экзогенных 
переменных на интервале экстраполяции изменяется, что может привести к 
изменению целей и структуры системы. В таком случае классические методы 
экстраполяции – продолжение подобранной на интервале наблюдения 
аналитической зависимости на время экстраполяции – приводят к неверным 
результатам и выводам. 

---

Задача подбора функций и отношений между экзогенными и 
эндогенными переменными в общем случае статистическая. Для прогноза 
поведения системы на заданном интервале необходима гипотеза относительно 
релевантных факторов, воздействующих на систему на этом интервале.
Если релевантные факторы на интервалах наблюдения и прогноза 
неизменны, то могут быть найдены устойчивые (неизменные для этих 
интервалов) зависимости – «тренды». Будет иметь место так называемое 
прогнозирование «от прошлого к будущему». В настоящее время темпы 
изменения производительных сил настолько высоки, что гипотеза о 
неизменности релевантных факторов, определяющих поведение системы, 
оказывается чаще неверной как для интервала наблюдения, так и интервала 
прогноза. Вместе с тем взаимосвязь систем в мире стала столь тесной, что 
состояние и развитие конкретной системы невозможно рассматривать вне этих 
связей. Вероятностные связи усложнились, вид и число неопределенностей 
возросли. В этих условиях потребовалось перейти к так называемому 
прогнозированию «от настоящего к будущему». При этом в результате 
наблюдения системы отправными для прогноза полагаются значения 
параметров системы в конце интервала наблюдения – текущие значения. Для 
прогноза изменения параметров в будущем выдвигаются гипотезы 
относительно окружающей среды, релевантных факторов, влияющих на 
поведение системы, экзогенных переменных, реализующих это влияние. 
Прогноз имеет вариантный характер, и только в лучшем случае удается 
выявить все возможные варианты развития системы и дать им вероятностные 
оценки.
Линейность и нелинейность 
Приведем 
некоторые 
высказывания, 
предостерегающие 
от 
необоснованного пренебрежения нелинейностями. 
«Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает 
нашу жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от 
чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм. Ловушкой при 
математическом моделировании является пристрастие человека к линейности. 
Это особенно проявляется в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и 
допущения сформулированы заранее. Представление о линейности мира 
привело к тому, что большинство аналитических методов, которым отдавалось 
предпочтение в прошлом, основано на использовании линейных систем 
уравнений. Ошибки и искажения возникают часто исключительно по этой 
причине». 
Необходимо помнить эти предостережения. В то же время следует иметь 
в виду, что методы исследования линейных систем очень развиты и 

---

обоснованное применение линейной модели для нелинейной системы часто 
оказывается весьма эффективным. Линейная модель полезна в начале цепочки 
моделей, последовательно приближающихся к модели с требуемой 
адекватностью. Линейная модель часто позволяет сразу получить оценку 
порядка значений выходных переменных. Иногда нелинейную задачу удается 
просто свести к последовательности линейных моделей. Линеаризацией 
нелинейной задачи (например, методом «замораживания коэффициентов») 
можно получить линейную модель для достаточно корректной оценки 
воздействия на систему малых возмущений.
Вопрос о возможности и целесообразности перехода от нелинейности к 
линейности решается в каждой задаче конкретно на рациональном уровне. 
Дискретность и непрерывность 
Вне зависимости от характера исследуемой системы может оказаться 
более предпочтительной дискретная или непрерывная модель. Для 
исследования сложных систем зачастую требуется создание аналого-
цифровой модели. Решение о дискретности или непрерывности модели 
принимается на этапе постановки задачи также на рациональном уровне. 
Детерминированность и случайность 
Все реальные процессы носят в той или иной степени стохастический 
характер. При решении одних задач случайные составляющие практически не 
влияют на результат и в модели не учитываются. В других задачах решение 
может быть получено только при учете случайных составляющих или 
различных неопределенностей и соответствующие математические методы 
закладываются в модель. Достаточность детерминированной модели или 
необходимость создания стохастической модели иногда очевидна, иногда 
переход 
к 
стохастической 
модели 
происходит 
вследствие 
неудовлетворенности результатами, полученными на детерминированной 
модели. 
Планирование эксперимента 
При планировании экспериментов ставится задача обеспечить 
достижение цели исследования при минимальных затратах ресурсов всех 
видов. Трудности получения необходимой достоверности результатов связана 

---

с наличием помех различного рода, в том числе ошибок измерения входной 
информации.
При планировании вычислительного эксперимента необходимо, как 
минимум, определить область существования параметров и переменных, 
оценить хотя бы качественно или грубо количественно влияние изменения 
всех параметров и переменных на исходы модели и выбранные критерии 
качества решения задачи, подобрать примеры для анализа зависимостей 
исходов модели от параметров модели и входных переменных. Если модель 
статистическая, необходимо принять решение о том, как будет задаваться 
входная информация и порядок обработки исходов. С учетом этих 
соображений 
разрабатывается 
методика 
проведения 
эксперимента, 
включающая порядок проведения частных экспериментов и количество 
испытаний в каждом частном эксперименте, порядок обработки результатов, 
способы контроля течения эксперимента и порядок его корректировки в 
зависимости от промежуточных и конечных результатов. 
Различают стратегическое и тактическое планирование.
Стратегическое планирование имеет целью создание общего плана 
эксперимента, экономного с точки зрения потребных ресурсов и 
соответственно предусматривающего разумную последовательность частных 
экспериментов и промежуточных проверок, а также создание структурной 
основы для обучения самого исследователя.
Тактическое планирование связано с решением задач двух типов: 
1) определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на 
достижение установившегося режима, минимизацию потерь на переходной 
режим; 
2) минимизация дисперсии исходов при одновременном уменьшении, по 
возможности, объема выборок. 
В теории планирования эксперимента модельные переменные