Sadaddinova sanobar sabirovna

x
)
funksiya tuziladi.
1. Agar biror
[
a
,
b
]
oraliqda
y
=
f
(
x
)
funksiyaning jadval qiymatlari yoki
grafigi
ma’lum bo‘lsa, shu oraliqda unga yaqin
y
=
P
(
x
)
funksiya
tuziladi.

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
5
1. Jadvalni algebraik
ko’phadga keltirish:
n
n
x
a
x
a
x
a
a
x
f





...
)
(
2
2
1
0
2. Jadvalni trigonometrik
ko’phadga keltirish
:








1
0
)
sin(
)
cos(
2
)
(
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f


3. Jadvalni eksponensial
ko’phadga keltirish:
x
n
x
x
x
n
e
a
e
a
e
a
e
a
x
f









...
)
(
2
1
0
2
1
0
Interpolyatsiyalash
turlari
Funksiyani jadval yoki
grafik shakldan analitik
shaklga
o’tkazish
interpolyatsiyalash
deyiladi
. 
Chiziqli
interpolyatsiya
Kvadratik
interpolyatsiya
Kubik
interpolyatsiya
Lagranj
interpolyatsion
formulasi

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Interpolyatsiyalash formulalari amaliyotda
…
6
Er. avv. III asrda Vavilonda
quyosh, oy va
planetalarning joylashuvini bashorat qilish uchun
chiziqli interpolyatsiyadan foydalanishgan.
Er. avv. 150 yillarda Gretsiyada
fazoviy jismlar
o‘rnini hisoblashda sinusoidal funksiyaga o‘xshash
interpolyatsiyadan foydalanishgan.
Eramizning 600 yillarida Xitoyda
“Imperiya
taqvimi
”
kvadratik
interpolyatsiya
usulida
hisoblangan...
Hozirda
ko’pgina amaliy masalalar interpolyatsiya yordamida yechiladi.

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Interpolyatsiyalash tugunlari
7
oraliqda yotuvchi, tajriba asosida olingan
nuqtalarni
o’sish tartibida raqamlab chiqamiz va ularni
tugunlar
deb ataymiz:
b
x
x
x
x
a
n






...
2
1
0
]
;
[
b
a
i
x

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Chiziqli interpolyatsiya nima?
8
Agar berilgan jadval yoki grafikdan foydalanib, 
algebraik ikkihad tuzilsa, unga
chiziqli interpolyatsiya
deyiladi.
(1)
)
(
1
0
x
a
a
x
f


1
0
,
a
a
Bunda berilgan oraliqqa tegishli 2 ta
tugunlar olinadi va 2
noma’lumli chiziqli
tenglamalar sistemasi tuziladi.









1
1
0
1
1
0
)
(
)
(
i
i
i
i
x
a
a
x
f
x
a
a
x
f
1
,

i
i
x
x
Sistemadan
koeffitsiyentlar topilib, (1)-
formulaga
qo’yiladi.

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Kvadratik interpolyatsiya nima?
9
(2)
)
(
2
2
1
0
x
a
x
a
a
x
f



3
ta
haddan
iborat
interpolyatsion
ko‘phadga
kvadratik
interpolyatsiya
deyiladi:
Bunda 3 ta tugunlar olinadi va 3 
noma’lumli tenglamalar sistemasi tuziladi:




















2
1
2
1
1
0
1
2
2
1
0
2
1
2
1
1
0
1
)
(
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
a
x
a
a
x
f
x
a
x
a
a
x
f
x
a
x
a
a
x
f
koeffitsiyentlar topilib, (2)-formulaga
qo’yiladi. 
2
1
0
,
,
a
a
a
1
1
,
,


i
i
i
x
x
x

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Kubik interpolyatsiya nima?
10
4 ta tugun qatnashadigan
ko’phadga
kubik interpolyatsiya
deyiladi:
Ko’phadga 4 ta tugun qiymatlari qo’yib chiqilsa, 4 noma’lumli
tenglamalar sistemasi hosil
bo’ladi. 
(3)
)
(
3
3
2
2
1
0
x
a
x
a
x
a
a
x
f





---

H I S O B ( C a l c u l u s )
1-misol. 
11
Raketaning
ko‘tarilish tezligi vaqtning
funksiyasi sifatida jadvalda keltirilgan.
sekunddagi raketa tezligini
hisoblang.
Yechish:
x
a
a
x
f
1
0
)
(


t
a
a
t
v
1
0
)
(


16

t
35
.
517
)
(
;
20
78
.
362
)
(
;
15
1
1
0
0




t
v
t
t
v
t
16

t
I.
Сhiziqli interpolyatsiyani tuzib, tezlikni
aniqlaymiz:

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
12
914
.
30
93
.
100
1
0



a
a
20
t
15


20
t
15
,
93
.
100
914
.
30
)
(




t
t
v
m/s
7
.
393
93
.
100
16
914
.
30
)
16
(




v
Ko‘tarilish tezligining
chiziqli
interpolyatsiyasi:









35
.
517
20
)
20
(
78
.
362
15
)
15
(
1
0
1
0
a
a
v
a
a
v
t
t
a
a
t
v
914
.
30
93
.
100
)
(
1
0






---

H I S O B ( C a l c u l u s )
13
2
2
1
0
)
(
t
a
t
a
a
t
v



2
2
1
0
)
(
x
a
x
a
a
x
f




















35
.
517
20
20
)
20
(
78
.
362
15
15
)
15
(
04
.
227
10
10
)
10
(
2
2
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
a
a
a
v
a
a
a
v
a
a
a
v














35
.
517
400
20
78
.
362
225
15
04
.
227
100
10
2
1
0
2
1
0
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
20
16
10


35
.
517
)
(
,
20
78
.
362
)
(
,
15
04
.
227
)
(
,
10
2
2
1
1
0
0






t
v
t
t
v
t
t
v
t
II. Kvadratik interpolyatsiyadan foydalanib tezlikni aniqlaymiz:

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
14
20
t
10
,
05
.
12
733
.
17
3766
.
0
)
(
2





t
t
t
v
16

t
m/s
19
.
392
05
.
12
16
733
.
17
16
3766
.
0
)
(
2






t
v
Chiziqli interpolyatsiya asosida topilgan tezlik qiymati: 
m/s
7
.
393
)
16
(

v
Kvadratik interpolyatsiya formulasidan topilgan tezlik qiymati: 
m/s
19
.
392
)
16
(

v
%
3841
.
0
%
100
19
.
392
7
.
393
19
.
392





a
Haqiqiy qiymatga yaqinlashish
xatosi: 
Ko‘tarilish tezligining
kvadratik interpolyatsiyasi
: 
3766
.
0
733
.
17
05
.
12
2
1
0



a
a
a

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
Lagranj_interpolyatsion_formulasi_qanday'>Lagranj interpolyatsion formulasi qanday?
15
Tugunlar soni ortib borishi bilan hisoblash
ishlari ham murakkablashib ketadi. Chunki
n
noma’lumli tenglamalar sistemasini
yechish amaliyoti
ko‘p vaqt va xotira (EHM) 
talab qiladi. Lagranj interpolyatsion
formulasi ancha sodda: 



n
i
i
i
n
x
f
x
L
x
f
0
)
(
)
(
)
(
Lagranj interpolyatsion formulasi
: 
(
n+
1 ta
qo’shiluvchi): 






n
i
j
j
j
i
j
i
x
x
x
x
x
L
0
)
(
Lagranj
ko‘phadi
(
n 
ta 
ko’paytuvchi)
:
Afzalligi: 
▪ tenglamalar sistemasi tuzilmaydi, 
▪ arifmetik hisoblashlar bajariladi.
n
i
,
0

i
i
y
x
f

)
(

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
2-misol.
Raketaning
ko‘tarilish
tezligi
uchun
Lagranj
interpolyatsion formulasini
tuzing va
t
=16 sekunddagi raketa
tezligini hisoblang.
16

---

H I S O B ( C a l c u l u s )
1-tartibli Lagranj interpolyatsion formulasini tuzamiz. Bunda 2 ta tugunni
olamiz:
17



n
i
i
i
n
x
f
x
L
x
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
1
0
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
t
L
t
v
i
i
i





35
.
517
)
(
;
20
78
.
362
)
(
;
15
1
1
0
0




t
v
t
t
v
t
1
0
1
1
0
0
0
0
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j









0
1
0
1
1
0
1
1
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
L
j
j
j
j









35
.
517
15
20
15
78
.
362
20
15
20
)
(
)
(
)
(
1
0
1
0
0
1
0
1














t
t
t
v
t
t
t
t
t
v
t
t
t
t
t
v
m/s
69
.
393
35
.
517
2
.
0
78
.
362
8
.
0
35
.
517
15
20
15
16
78
.
362
20
15
20
16
)
16
(













v