N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

8.4.Normal tasodifiy miqdorning berilgan chetlanishi ehtimolligi
Ehtimollikning amaliy masalalarda (masalan, о‘q uzish ehtimoliy 
masalalarida) kо‘pincha normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning chetlanishi 
absolyut qiymati bо‘yicha berilgan 

sondan kichik bо‘lish ehtimolligini, ya’ni



а
X
hodisaning rо‘y berish ehtimolligini topish talab qilinadi. Bu 
tengsizlikni






a
X
yoki






a
X
a
qо‘sh tengsizlik bilan almashtiramiz. (8.9) formuladan foydalanib quyidagini 
hosil qilamiz: 


































a
а
Ф
а
a
Ф
a
X
a
P
a
X
P
)
(
= 
=


















Ф
Ф
=2








Ф
Shunday qilib,














Ф
a
X
Р
2
(8.10) 
3-misol.
X
tasodifiy miqdor normal taqsimlangan, uning matematik kutilmasi 
10, о‘rtacha kvadratik chetlanishi 5 ga teng. Chetlanish absolyut qiymati 
bо‘yicha 2 dan kichik bо‘lishi ehtimolligini toping. 
Yechish
a
=10, 

=5, 

=2 




3108
,
0
4
,
0
2
5
2
2
2
10











Ф
Ф
X
P
. 
 
8.5 Kо‘rsatkichli taqsimot
Kо‘rsatkichli taqsimot deb 







0
0
0
)
(
x
e
х
x
f
х


(8.11)
 
zichlik funksiya bilan tavsiflanadigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga 
aytiladi.Kо‘rsatkichli taqsimotning taqsimot funksiyasi 

---

56 







0
,
1
0
0
)
(
x
e
х
x
F
x

(8.12) 
Haqiqatdan, 
x
x
x
x
t
t
x
e
e
e
e
dt
e
dt
dt
t
f
x
F





























1
0
)
(
)
(
0
0
0
0
Kо‘rsatkichli taqsimotga ega uzluksiz tasodifiy miqdorning berilgan (

, 

) 
intervalga tushish ehtimolligi (7.3) formulaga asosan













e
e
Х
P
.

(8.13) 
Kо‘rsatkichli taqsimotning sonli xarakteristikalarini topamiz.Matematik kutilma: 
 
 










0
dx
xe
dx
x
xf
X
M
x


(yoki bо‘laklab integrallab) 













1
)
1
0
(
1
0
1
0
0
,
,
0
0



























x
x
x
x
x
x
e
dx
e
xe
e
d
dx
e
dx
du
x
u
dx
хe
Dispersiyani hisoblaymiz: 
 











2
0
2
2
2
1
)]
(
[
)
(



dx
e
x
X
M
dx
x
f
x
X
D
x
.
Tenglikni о‘ng tomonidagi birinchi integralni hisoblaymiz:




















0
2
2
2
0
2
;
2
0
2
0
,
2
,










dx
xe
e
x
e
d
dx
e
xdx
du
x
u
dx
e
x
x
х
x
x
х
Shunday qilib,
 
2
2
2
1
1
2






X
D
Kо‘rsatkichli taqsimot о‘rtacha kvadrat chetlanishi
 
 


1


X
D
X
Yuqoridagilardan,
 
 
,
1




X
X
М
ya’ni kо‘rsatkichli taqsimot matematik kutilmasi va о‘rtacha kvadrat chetlanishi 
о‘zaro teng degan xulosaga kelamiz.Buning amaliy ahamiyati muhim. Masalan, 
tajribada kо‘rsatkichli taqsimlangan tasodifiy miqdor о‘rganilayotgan, shu bilan 
birga

parametr noma’lum bо‘lsin. Agarda matematik kutilma ham noma’lum 
bо‘lsa, u holda, uning bahosi sifatida tanlanma о‘rtacha qiymat 
x
olinadi va 

parametrni taqribiy qiymati 
х
1


tenglikdan topiladi.
Kо‘rsatkichli taqsimot ehtimolliklar nazariyasida keng qо‘llaniladi. 
Shuningdek, eng oddiy oqim ikkita ketma-ket hodisaning rо‘y berish orasidagi 

---

57 
vaqt taqsimoti kо‘rsatkichli taqsimot qonuniga ega uzluksiz tasodifiy miqdorga 
misol bо‘ladi. 
Aytaylik, biror qurilma (element) vaqtning 
t
0
=0 momentida ishlay 
boshlasin, vaqtning 
t
momentida esa ishdan chiqsin. 
T
orqali uzluksiz tasodifiy 
miqdor-elementning buzilmasdan ishlash vaqtining davomiyligini, 

bilan esa 
buzilishlar intensivligini (ya’ni vaqt birligi ichida buzilishlar о‘rtacha sonini) 
belgilaymiz. Agar element 
t
dan kichik vaqt buzilmasdan ishlagan bо‘lsa, u 
holda 
t
vaqt ichida buzilish rо‘y beradi va ushbu
 


t
T
P
t
F


taqsimot funksiyasi davomiyligi 
t
bо‘lgan vaqt ichida elementning ishdan 
chiqish ehtimolligini aniqlaydi. Elementning shu
t
-vaqt ichida buzilmasdan 
ishlash ehtimolligi esa
T
>
t
qarama -qarshi hodisaning ehtimolligidan iborat:


 
0
,
1








t
e
t
F
t
T
P
. 
Uni R(t) bilan belgilaymiz:
o
е
t
R
t





,
)
(
.R(t) 
ishonchlilik funksiyasi
ham 
deyiladi. 
4-misol 
Elementning 
buzilmasdan 
ishlash 
vaqtining 
davomiyligi 
t
e
t
F
03
.
0
1
)
(



kо‘rsatkichli taqsimotga ega. Davomiyligi 
100

t
soat bо‘lgan 
vaqt ichida: 
a
) elementning buzilmaslik ehtimolligini; 
b
) elementning buzilish 
ehtimolligini toping. 
Yechish. 
a
) 
t
e
t
F
03
.
0
1
)
(



taqsimot funksiyasi elementning davomiyligi 
t
bо‘lgan vaqt ichida buzilmaslik ehtimolligini aniqlagani uchun 
100

t
ni 
taqsimot funksiyasiga qо‘yib, topamiz: 
.
95
,
0
05
,
0
1
1
1
)
100
(
3
100
03
.
0










e
e
F
b
) “element buziladi” va “element buzilmaydi” hodisalari qarama-qarshi 
hodisalardir, shuning uchun elementning buzilish ehtimolligi: 
05
,
0
)
100
(
100
03
.
0





e
R
P
. 
О‘Z-О‘ZINI TEKSHIRISH UCHUN SAVOLLAR 
1.
Qanday taqsimot normal taqsimot deyiladi? 
2.
Normal taqsimotning asosiy sonli xarakteristikalari qiymatlarini kо‘rsating. 
3.
Normal taqsimot zichlik funksiyasining xossalarini keltiring.
 
4.
Normal taqsimotning taqsimot funksiyasining xossalarini keltiring.
 
5.
Normal taqsimot Laplas funksiyasini yozing.
 
6.
Normal tasodifiy miqdorning berilgan intervalga tushish ehtimolligi 
formulasini yozing.
 
7.
Normal tasodifiy miqdorning berilgan chetlanish ehtimolligi formulasini 
yozing.
 
8.
Standart normal taqsimot qanday ta’riflanadi?
 
9.
Normal taqsimot parametrlarining ehtimoliy ma’nosi?
 
10. 
)
(
х

va 
)
(
х
Ф
Laplas funksiyalarining xossalarini ayting. 
 
 
 

---

58 
Mustaqil yechish ushun mashqlar
1. 
Ampermetr shkalasining bо‘lim bahosi 0,1 A ga teng. Strelkaning 
kо‘rsatkichi eng yakin butun bо‘linmagacha yaxlitlanadi. Kо‘rsatkichlarni 
о‘qishda 0,02 A dan ortiq xatoga yо‘l qо‘yilish ehtimolligini toping. 
2. Elektr soatning minut strelkasi har bir minutning oxirida sakrab siljiydi.Shu 
onda soatning kо‘rsatayotgan vaqti haqiqiy vaqtdan 20 sek dan ortiq farq 
qilmaslik ehtimolligi
n
i toping.
J:
3
2

p
3.(2,8) intervalda tekis taqsimlangan 
X
tasodifiy miqdorning matematik 
kutilmasi, dispersiyasi va о‘rtacha kvadratik chetlanishini toping. 
J: 
 
5

X
M
,
4. Normal taqsimlangan 
X
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi 
ga, о‘
rtacha kvadratik chetlanishi 
ga teng. X ning zichlik funksiyasini 
yozing. J
: 
. 
5
.
Ushbu
 
dz
e
x
x
z




0
2
2
2
1

Laplas funksiyasi toq, ekanligini isbotlang, ya’ni


 
x
x





.
Kо‘rsatma. Ushbu


dz
e
x
x
z






0
2
2
2
1

tenglikda z=-t deb oling. 
6
.
Normal taqsimlangan 
X
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va 
dispersiyasi mos ravishda 10 va 2 ga teng. Sinov natijasida 
X
ning 


14
,
12
da 
yotadigan qiymat qabul qilish ehtimolligini toping. J: 


1359
,
0
14
12



X
P
 
7
. 
Normal taqsimlangan 
X
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va 
о‘rtacha kvadratik chetlanishi mos ravishda 20 va 5 ga teng. Sinov natijasida X 
ning (15,25) da yotadigan qiymat qabul qilish ehtimolligini toping. 
J:


6826
,
0
25
15



X
P
 
8
.
Biror moddani tarozida tortish sistematik xatolarsiz о‘tkaziladi. Tarozida 
tortishning tasodifiy xatolari о‘rtacha kvadratik chetlanishi
20


g bо‘lgan 
normal qonunga bо‘ysunadi,Tarozida tortish absolyut qiymati bо‘yicha 10 g dan 
oshmaydigan xato bilan о‘tkazilishining ehtimolligini toping. J
: 


383
,
0
10


X
P
.
9