Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnalogiyalari Universiteti 1

       To‘lqin funksiyasi 

 

Kvant mexanikasida mikrozarraning holati to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi. 

To‘lqin funksiyasi 



 harfi bilan belgilanadi va “psi-funksiya” deb o‘qiladi. Kvant 

mexanikasida  mikrozarraning  holatini  klassik  mexanikadagi  kabi  oldindan  aniq 

aytib  bo‘lmaydi.  Kvant  mexanikasida  mikrozarraning  u  yoki  bu  holatining 

ehtimolligi  aniqlanishi  mumkin.  Shuning  uchun  to‘lqin  funksiya  deyilganda, 

koordinata  va  vaqtga  bog‘liq  bo‘lgan  shunday  matematik  ifoda 



(x,y,z,t) 

tushunilishi kerakki, uning yordamida berilgan vaqtda mikrozarralarning fazodagi 

taqsimotini (joyini) aniqlash mumkin bo‘lsin. 

 

To‘lqin  funksiyasi  qanday  fizik  ma’noga  ega?  To‘lqin  funksiyasi  orqali 

mikrozarraning qaysi xarakteristikalarini aniqlash mumkin, degan savollar tug‘iladi. 

---

Bu savollarga beriladigan javoblarni ko‘raylik. To‘lqin funksiyasi – elektr va magnit 

maydonlari tushunchalari kabi fizik tushunchadir. Maks Born to‘lqin funksiyasiga 

quyidagicha  ta’rif  beradi:  to‘lqin  funksiyasi  ehtimoliyat  interpretasiyasiga  ega  va 

uning  modulining  kvadrati 







2

  fazoning  berilgan  nuqtasida  va  berilgan  vaqtda 

zarraning  topilish  ehtimoliyatiga  proporsional  bo‘ladi.  Zarraning  topilish 

ehtimoliyati maydon intensivligi kuchli bo‘lgan sohada katta bo‘ladi. Zarraning dx 

uzunlik elementida topilishining ehtimoliyati quyidagichaifodalanadi: 

 

P 





*



dx 

 

Bu ifodaga normalash qoidasini qo‘llab quyidagi formulani hosil qilish mumkin: 



 

 

ò



*



dx 



1 

(5.1) 



 

 

yoki  umumiy  holda  zarraning  dV=dxdydz  hajm  elementida  topilish  ehtimoliyatini 

quyidagicha yozish mumkin: 



 

 

ò ò ò



*



dV 



1 

(5.2) 



 

 

(5.1) va (5.2) formulalar to‘lqin funksiyasini normalash sharti deyiladi va zarraning 

mavjudligini,  fazoning  qaysidir  biror  nuqtasida  bo‘lishini  ko‘rsatadi.  Bunday 

normalash xususiy qiymatlarning spektri diskret bo‘lganda to‘g‘ri bo‘ladi. Xususiy 

qiymatlarning  spektri  uzluksiz  bo‘lganda, 







2

  dan  olingan  integral  cheksizlikka 

aylanadi,  shuning uchun xususiy  qiymatlar  uzluksiz  bo‘lganda  boshqa  normalash 

shartidan foydalaniladi. 

 

Noaniqlik  munosabatlaridan  ko‘rinadiki,  klassik  fizikada  ishlatiladigan 

deterministik  prinsiplar  kvant  mexanikasida  to‘g‘ri  bo‘lmaydi,  chunki  zarraning 

turgan  joyi  va  tezligini bir  vaqtda  absolyut  aniqlikda  o‘lchab bo‘lmaydi.  Demak, 

kvant  mexanikasida  zarraning  trayektoriyasi  to‘g‘risida  gapirib  bo‘lmaydi.  Kvant 

mexanikasida faqat fazoning berilgan nuqtasida berilgan vaqtda zarraning topilish 

ehtimoliyatining zichligi 



*



 ni aniqlash mumkin bo‘ladi. Ehtimoliyatning o‘zi esa

 



*



dV

 

ko‘rinishda ifodalanadi.

 

 

Umuman

, 



  f

unksiya  fizikaviy  jarayonlarni  ifodalashda  foydalaniladigan  qulay 

instrument hisoblanadi. 

Yuqorida mikrozarralar ham zarra ham to‘lqin xususiyatiga ega ekanligi qarab 

chiqildi.  Mikrozarralarning  zarra  xususiyati  ularning  o‘zaro  ta’sirida  (fotoeffekt, 

Kompton  effekt  hodisalarida),  to‘lqin  xususiyati  esa  ularning  tarqalishida, 

interferensiya, difraksiya hodisalarini hosil qilishida namoyon bo‘ladi. P impulsga 

va  E  energiyaga  ega  bo‘lgan  mikrozarraning  to‘lqin  xususiyati  quyidagi 

ko‘rinishdagi de-Broyl yassi to‘lqin funksiyasi orqali ifodalanadi: 



i 

( Et



Pr) 

 

 



 (r,t) 



Ae

h

 

(5.3)  

(5.3) formulada A – doimiy son, 



(r,t) – de-Broyl yassi to‘lqin funksiyasi, t – vaqt, 

r – radius vektor. 

---