Xususiy hosilali differensial tenglama haqida tushuncha. Ikkinchi tartibli chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning klassifikatsiyasi

---

Friday, November 9, 2018 telegram.me/@UktamRakhmonov 
Xususiy hosilali differensial tenglama haqida tushuncha. Ikkinchi tartibli 
chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning klassifikatsiyasi.
 
Maruza rejasi: 
1.
 
Xususiy hosilali differensial tenglama ta’rifi. 
2.
 
Xususiy hosilali differensial tenglamaning kanonik ko’rinishi. 
3.
 
Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning klassifikatsiyasi. 
 
1-Ta’rif.
 Agar differensial tenglamada noma’lum ikki o’zgaruvchili 
U
(
x
, 
y
) 
funksiya va uning birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bilan qatnashgan 
bo’lsa u ikki o’zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama 
deyiladi va quyidagi ko’rinishda yoziladi 

0
)
,
,
,
,
),
,
(
,
,
(
2
2
2
2
2
1












y
u
y
x
u
x
u
y
u
x
u
y
x
U
y
x
F
.

(63.1) 
Ushbu,
0
)
,
),
,
(
,
,
(
2
1
2
2
22
2
12
2
2
11















y
u
x
u
y
x
U
y
x
F
y
u
a
y
x
u
a
x
y
a
(63.2) 
tenglama ikkinchi tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli differensial tenglama deb 
ataladi. Bu yerda 
a
11
, 
a
12
, 
a
22
 lar 
x
 va 
y
 larning funksiyalari. 
Agar (1) tenglama ikkinchi tartibli 
2
2
2
2
2
,
,
y
u
y
x
u
x
u







xususiy hosilalari, 
U
(
x,y
) funksiya va uning birinchi tartibli xususiy hosilalariga nisbatan chiziqli 
bo’lsa, chiziqli differensial tenglama deb ataladi va (1) tenglama quyidagi 
ko’rinishga ega bo’ladi: 

0
2
2
1
2
2
22
2
12
2
2
11


















f
cu
y
u
b
x
u
b
y
u
a
y
x
u
a
x
u
a

(63.3) 
Bu yerda 
a
11
, 
a
12
, 
a
22
, 
b
1
, 
b
2
, 
c
, 
f
 - koeffitsientlar 
x, y 
larning funksiyalari. 
(63.2)
tenglama sodda (kanonik) holga keltirilsa, u quyidagi uchta tipdan 
biriga ajraladi: 
Giperbolik tipdagi tenglama 
0
yoki
0
2
2
2
2
2










y
x
u
y
u
x
u
 
 
 
(63.4) 
Elliptik tipdagi tenglam:
0
2
2
2
2






y
u
x
u

 

(63.5) 
Parabolik tipdagi tenglama 
0
2
2






y
u
x
u
 
 
 
 
 
(63.6) 
Fizika va mexanika masalalarini yechish natijasida 
(63.4), (63.5), (63.6)
 
tenglamalar hosil bo’lgani uchun, ular matematik fizik tenglamalar deb ataladi. 
Giperbolik tipdagi (63.4) tenglama to’lqin tenglamasi deb atalib, unga torni 
ko’ndalang tebranish, sterjnning bo’ylama tebranishi, simda elektr tebranishlari, 
gazning tebranishlari va shunga o’xshash masalalarni tebranish jarayonlarini 

---

Friday, November 9, 2018 telegram.me/@UktamRakhmonov 
o’rganishga olib keladi. 
 
Elliptik tipdagi (63.5) tenglama Laplas tenglamasi deb atalib, bu tenglamaga 
elektr va magnit maydonlari, statsionar issiqlik holati haqidagi gidrodinamika, 
diffuziya va shunga o’xshash masalalarni o’rganish olib keladi. 
 
Parabolik tipdagi (63.6) tenglama issiqlik tarqalish tenglamasi deb atalib, 
bunday tenglamani tekshirishga issiqlik tarqalish jarayoni, g’alvirik (g’ovak) 
muhitdagi suyuqlik va gazning suzilish masalasi va shunga o’xshash masalalarni 
o’rganishga olib keladi. 
 
2. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning klassifikatsiyasi 
 
Bizga (2) tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglamada o’zgaruvchilarni 
 
 
y
x
y
x
,
,
,






almashtirish yordamida unga ekvivalent bo’lgan 
tenglama hosil bo’ladi.
0
,
,
)
,
(
)
,
(


y
x
y
x
y
x
D
D











D
sohada yakobian bo’lishi kerak.
Bizni 

, 

-
lar qanday ko’rinishda tanlanganda hosil bo’lgan tenglama eng 
sodda holga kelish masalasi qiziqtiradi. 
Quyida (63.2) tenglama uchun 

va 

larni qanday qilib tanlashini 
ko’rsatamiz. Agar (
63.
2) tenglamadagi xususiy hosilalarni yangi o’
zgaruvchilar 
orqali ifodalasak: 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(63.7)
2
u
u
u
x
x
x
u
u
u
y
y
y
u
u
u
u
u
u
x
x
x x
x
x
x

   

 
 

 
 

 
 




  

     

 
  
 
 
 















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
u
u
y
u
u
u
x y
x
y
x
y
y
x
x
y
x y
x y
u
u
u
u
u
u
y
y
y
y
y
y
y


 

 
 

  
 

 
 
  
  
 
  
  
  




  

     

 
  
 
 
 

























































Hosilalarning (63.7) dagi qiymatlarini (63.
2) ga qo’ysak,

---

Friday, November 9, 2018 telegram.me/@UktamRakhmonov 
0
)
,
,
,
,
(
2
2
2
22
2
12
2
2
11
















u
u
u
F
u
a
u
a
u
a
(63.8) 
Bu yerda. 
























































2
22
12
2
11
22
22
12
11
12
2
22
12
2
11
11
2
2
y
a
y
x
a
x
a
a
y
y
a
y
x
y
x
a
x
x
a
a
y
a
y
x
a
x
a
a
































(63.9) 

va 

o’zgaruvchilarni shunday tanlaymizki, 
0
11

a
bo’lsin. Ushbu birinchi 
tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraymiz. 

















0
2
2
22
12
2
11
y
z
a
y
z
x
z
a
x
z
a








(63.10) 
Agar
)
,
(
y
x
z


(10) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsa, u holda 
)
,
(
y
x



deb olsak, 
0
11

a
koeffitsient nolga teng bo’ladi.
Demak, 
Z
=
)
,
(
y
x

funksiya (10) ten
glamaning yechimi bo’lsa, 
C
y
x


)
,
(
quyidagi
0
2
2
11
12
2
11



dx
a
dxdy
a
dy
a
(63.11) 
oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’lar ekan.
(63.11) tenglama (63.2) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi 
deb ataladi. (63.11) ning yechimlari esa xarakteristikalar deb ataladi. (63.11) 
tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi. 

a
a
a
a
a
dx
dy
11
22
11
2
12
12



(63.12) 

a
a
a
a
a
dx
dy
11
22
11
2
12
12



(63.13) 
Agar 
M
(
x
, 
y
) nuqtada 
0
>
-
22
11
2
12
a
a
a
bo’lsa, (
63.2) tenglama giperbolik 
tipdagi, 
0
<
-
22
11
2
12
a
a
a
bo’lsa, elliptik tipdagi, 
0
=
-
22
11
2
12
a
a
a
bo’lsa, parabolik 
tipdagi tenglama deb ataladi. 
Endi yuqoridagi tiplarning har birini alohida-alohida qaraymiz. 
I.
Giperbolik tipdagi tenglamalarda 
0
>
-
22
11
2
12
a
a
a
bo’lgani uchun (
63.12), 

---

Friday, November 9, 2018 telegram.me/@UktamRakhmonov 
(63.
13) tenglamalar ikkita haqiqiy yechimga ega bo’ladi.
Agar
0
11

a
yoki
0
22

a
ekanligini e’tiborga olsak, unda (
63.11) 
tenglama ikkita haqiq
iy xarakteristikalarga ega bo’ladi. Ularni mos ravishda 
)
,
(
y
x



, 
)
,
(
y
x



deb olsak, (63.8) tenglama 


   




2
u
u
u
u
 
( , , ( , ),
,
)
(63.14) 
ko’rinishga keladi. Bu yerda 
(63.14) giperbolik tipdagi tenglamaning kanonik 
ko’ri
nishidir. 
Agar (63.14) da 










,
almashtirishni bajarsak, unda u 
quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.
)
4
(Ф
.
1
1
2
2
2
2
Ф
Ф
u
u







(63.15) 
II.
Elliptik tipdagi tenglamada 
0
<
-
22
11
2
12
a
a
a
bo’lgani uchun 
(63.12),(63.13) tenglamalar komplek
s ildizlarga ega bo’ladi. Bunda 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
y
x
i
y
x
y
x





funksiya (63.12) tenglama uchun kompleks integral 
(yechim) bo’ladi.
Biz (63.10) tenglamada 
 
 
y
x
y
x
,
,
,
2
1






almashtirish kiritsak, 
quyidagi ayniyat hosil bo’ladi
0
2
2
22
12
2
11















y
a
y
x
a
x
a








. 
Bu ayniyatning haqiqiy va mavjud qismlarini ajratib, quyidagi tengsizliklarni hosil 
qilamiz. 
a
x
a
x y
a
y
a
x
a
x y
a
y
11
2
12
22
2
11
2
12
22
2
2
2





















 






 





 







.
a
y
y
x
a
x y
y x
a
y
y
y
11
12
22
0























 

hosil bo’lgan tengliklardan (
63.
9) ga ko’ra 
0
,
12
22
11


a
a
a
ekanligi kelib chiqadi. 
Bu holda (63.8) tenglama quyi
dagi ko’rinishga keladi.
.
,
,
,
,
2
2
2
2





















u
u
u
u
u
(63.16) 
Bu yerda,
.
22
a
F



III.
Parabolik tipdagi tenglamada 
0
=
22
11
2
12
a
-a
a
bo’lgani uchun (
63.12), 

---

Friday, November 9, 2018 telegram.me/@UktamRakhmonov 
(63.
13) tenglamalar bitta yechimga ega bo’ladi. O’sha yechimni 
)
,
(
y
x



deb 
olsak, 
)
,
(
y
x



ni 

ga bog’liq bo’lmagan ixtiyoriy funksiya shaklida tanlab 
olamiz. Bu tanlashda Yakobian bo’lishi kerak.
0
)
,
(
)
,
(

y
x
D
D


Shunday tenglamada


a
a
x
a
x y
a
y
a
x
a
y
11
11
2
12
22
2
11
22
2
2
0






 






 














a
12











y
y
a
x
y
y
x
a
x
x
a
























22
12
11







22
11
a
x
a



0
22
11


y
a
x
a




bo’ladi. Bunda 
.
22
11
12
a
a
a

Bu holda (63.
8) tenglama quyidagi ko’rinishga 
ega bo’lib, parabolik tipdagi tenglamaning kanonik shaklidir.


 




2
2
22
u
Ф
u
u
u
Ф
F
a

 
( , , ,
,
).
(
).