Учебное пособие для студентов магистерских программ москва Екатеринбург 014 удк ббк п

часть общей дисперсии можно объяснить зависимостью Y от фак-
тора А. В нашем примере выборочный коэффициент детерминации 
равен: 
85
,
0
16
/
44
,
259
16
/
19
.
220

. 

---

164 
Многофакторный дисперсионный анализ 
При проведении статистических исследований обычно прихо-
дится иметь дело с большим количеством факторов. Увеличение чис-
ла факторов принципиально не изменяет процедуру дисперсионного 
анализа, однако вычисления значительно усложняются. 
Без ограничения на общность для простоты рассмотрим анализ 
влияния нескольких факторов на примере двухфакторного анализа. 
Пусть изучается влияние на среднее значение анализируемой 
случайной величины 
двух факторов – 
и 
Фактор 
А
имеет 
уровней, фактор 
В
– 
уровней. Для анализа влияния на результа-
тивный признак факторов 
А
и 
В
следует проверить нулевые гипотезы: 
(5.34) 
(5.35) 
Так же как и в случае однофакторного дисперсионного анализа, 
должны быть соблюдены следующие требования: 
1)
наблюдения независимы при различных сочетаниях уровней 
факторов 
и
2)
результативный признак 
Y
имеет нормальный закон распре-
деления с постоянной генеральной дисперсией
для любых соче-
таний уровней факторов
 А
и 
В
. 
Двухфакторный дисперсионный анализ может иметь два вари-
анта: без повторных измерений и с повторными измерениями.
В первом варианте для каждой пары уровней факторов сущест-
вует только одно наблюдение. Исходные данные должны представ-
лять собой матрицу размером 
m
n

, в которой столбцы отвечают 
различным уровням первого фактора 
а строки – различ-
ным уровням второго фактора 
. Каждая ячейка содержит 
одно значение результативного признака, измеренного при соответ-
ствующем сочетании уровней исследуемых факторов. 
Во втором варианте определенным сочетаниям уровней факто-
ров соответствует несколько наблюдений (анализ с повторениями).
Рассмотрим сначала двухфакторный дисперсионный анализ без 
повторений.
По аналогии со схемой однофакторного анализа получаем для 
суммы квадратов отклонений всех наблюдений от их общего выбо-
рочного среднего следующее выражение: 
2
2
2
2
O
B
A
Y
s
s
s
s



,
(5.36) 

---

165 
Здесь 
2
A
s
и 
2
B
s
– взвешенные суммы квадратов отклонений вы-
борочных средних по каждому уровню фактора 
A
(i)
и фактора 
В
(i)
со-
ответственно от общего выборочного среднего, 
2
O
s
– среднее значение 
квадратов отклонений внутри уровней. 
Для проверки нулевых гипотез 
H
А
и 
H
В
вычисляются статистики 
дисперсионного анализа 
2
2
O
A
A
s
s
F

2
2
O
B
B
s
s
F

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется так же как и при 
однофакторном дисперсионном анализе. 
В качестве примера рассмотрим влияние на объем продаж 
ряда товаров двух факторов: товарной марки (3 градации) и торго-
вой точки (4 градации) (таблица 5.8).