А. А. Самарский, А. В. Гулин

близким к
нулю.
Не надо думать, однако, что накопление погрешностей округ­
ления делает непригодным метод Гаусса или другие численные ме­
тоды. Ведь обычно требуется знать решение не абсолютно точно, 
а лишь с какой-то степенью точности. Важно, чтобы результирую­
щая погрешность вычислений находилась в пределах заданной точ­
ности. Для этого необходимо проводить анализ влияния погреш­
ностей округления на точность алгоритма.
Поскольку полное проведение такого анализа весьма трудоемко 
и выходит за рамки данной книги, ограничимся лишь основными 
сведениями. Подробное изложение этого круга вопросов можно 
найти в книге [
6
].
Для большинства вычислительных алгоритмов влияние погреш­
ностей округления можно учесть, рассматривая возмущенную си­
стему (13). Считают, что решение системы (1), искаженное по­
грешностями округления, совпадает с точным решением некоторой 
системы (13). Иначе говоря, процесс решения системы (1) с уче­
том погрешностей округления эквивалентен точному решению не­
которой возмущенной системы (13).
Предположим для простоты, что правая часть / задается точно. 
Пусть в результате погрешностей округления вместо точного ре-
79

---

шения системы (
1
) получено точное решение возмущенной системы
A x = f.
(
22
)
В этом случае матрица 
6
А = А —А
называется 
матрицей экви­
валентных возмущений.
Каждому вычислительному алгоритму от­
вечает своя матрица эквивалентных возмущений. Если известна 
оценка нормы матрицы 6/4, то погрешность, возникшую в резуль­
тате погрешностей округления, можно оценить согласно (15), 
а именно
11 
*11 
Мл
1
6/4 
|1 
.23,
1* 1
м
1 М Ц М П '
‘ - " - Щ
Отсюда видно, что на точность решения влияют два фактора: 
число обусловленности матрицы 
А
и эквивалентное возмущение 
||
6
Л||/1|/41|. Чем больше числа 
МА
и ||6/4||/||/4||, тем меньше точность 
решения. Подчеркнем, что число обусловленности не связано с ка­
ким-либо численным алгоритмом, а характеризует только свойст­
ва исходной системы (1). Величина эквивалентного возмущения оп­
ределяется численным алгоритмом. Тем самым при рассмотрении 
конкретных алгоритмов необходимо получать оценки соответствую­
щих эквивалентных возмущений.
Так, в результате факторизации 
A = LU
по методу Гаусса реше­
ние системы (
1
) сводится к решению двух систем
Ly = f, Ux = y
с треугольными матрицами. Погрешности округления приводят к 
тому, что вместо решения 
х
системы 
Ux = y
получаем решение 
х
возмущенной системы 
Пх = у.
Точно так же вместо решения 
у
си­
стемы 
Ly = f
получаем решение 
у
системы 
Ly = f.
Таким образом, 
можно считать, что вместо исходной системы (
1
) точно решается 
возмущенная система 
A x = f,
где 
A = LD.
Чтобы найти матрицу 
А,
надо выписать все формулы метода Гаусса, внести в них погреш­
ности округления и получить тем самым матрицы 
L
и 
D.
Далее 
следует оценить норму матрицы 
5A = LU
—
LO.
Опуская все эти 
весьма трудоемкие выкладки, приведем лишь окончательный ре­
зультат (см. [
6
]).
Пусть 
t
— число разрядов мантиссы в двоичном представлении 
чисел на ЭВМ с плавающей запятой, так что относительная по­
грешность округления действительного числа есть величина по­
рядка 
2~‘.
Тогда для эквивалентного возмущения метода Гаусса 
верна оценка
1А_.л 1 = о ( т .2Д
ИЛ
где 
m
— порядок матрицы.
Таким образом, накопление погрешностей округления при ре­
шении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
80

---

на ЭВМ с плавающей запятой приводит к тому, что искомое реше­
ние определяется с относительной погрешностью