А. А. Самарский, А. В. Гулин

(4 5 ), (4 8 ) 
имеем | 
oti 
| = | 
^
1
. Предпо­
ложим, что | а , | ^ 1 для некоторого 
j
и докажем, что |a j+1| ^ l . Из 
оценок
|С—а д | > | |сл-1 — | ctj| | а,| | > | |Cj| — Jал-| | 
и условий (47) получаем
| 
c— afii
 | > | 
bj
 | > 0 ,
т. e. знаменатели выражений (44) не обращаются в нуль. Более 
того,
Следовательно, |сс5| ^ 1 , / = 1, 2, . . . ,
N.
Далее, учитывая второе 
из условий (48) и только что доказанное неравенство |а Л-]<;1, 
имеем
]1—x2a j v |^ l — |х 2| | оьлг| ^ 1 — |х 2| > 0 ,
т. е. не обращается в нуль и знаменатель в выражении для уЛ- 
К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда 
условия (47), (48) заменяются условиями
Щ-ф
0, 
Ь,ф0,
 
| C j | > | f l i | +
|6 j|, у 
=
1, 2, 
N—
 
1, 
(49)
Ы < 1 >
|х * |< 1 . 
(50)
В этом случае из предположения 
\а3 \
^ 1 следует
I с —ajfl, | ^ 11 
с,
 | — | а, 11 > | 
bj
 | , 
| а,+
1
1 < 1,
46

---

т. е. все прогоночные коэффициенты, начиная со второго, по моду­
лю строго меньше единицы. При этом |1 —
y.2a N
| ^ 1 — |x 2| | a w| ^
1 — | a w| >0.
Таким образом при выполнении условий (47), (48) (так же как 
и условий (49), (50)) система (41)— (42) эквивалентна системе 
(44) — (46). Поэтому условия (47), (48) (или условия (49), (50)) 
гарантируют существование и единственность решения системы 
(41), (42) и возможность нахождения этого решения методом про­
гонки. Кроме того, доказанные неравенства | 
щ
| ^ 1, 
j
= 1, 2, . . . ,
N,
обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (46). 
Последнее означает, что погрешность, внесенная на каком-либо 
шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим 
шагам. Действительно, пусть в формуле (46) при / = /0+1 вместо 
yk+i
вычислена величина 
yh+i= yk+i
4-6ji)+1. Тогда на следующем шаге 
вычислений, т. е. при / = /„, вместо 
у^--=ак+1ук+1+ ^ к+1
получим ве­
личину yJrj = a jo+1 (i/j0-H + 6j0+i) + Pj0+I 
и
погрешность окажется равной
®/«=
у
/а 
у
 it, —
T.fA'iH'
Отсюда получим, что |6jo[ ^ |a jo+,| 16jo+i | sg 16J0+11, т. е. погрешность 
не возрастает.
Отметим, что для разностной краевой задачи (16), записанной 
в виде
ys-i—
2«/; + «/гц = — 
h2fjt
/ = 1, 2, . . . ,
N
—1,
имеем 
ctj = bj=
1, 
с, =
2, xi = x2 = 0. Поэтому выполнены условия устой­
чивости (47), (48) и решение задачи (16) можно отыскивать ме­
тодом прогонки.

---

Ч А С Т Ь II