А. А. Самарский, А. В. Гулин

Нетрудно построить решение задачи (8), (9) в виде квадратур. Предста­
вим 
и(х) в виде суммы двух функций:
и(х) = н(х) + w ( x ) ,
где
ь " ( х ) = 0 , х е ( а ,
Ь), 
о(а) = р,, 
u ( i ) = p 2, 
(10)
w " ( x ) — —/( х ) , х е ( й , Ъ), 
w ( a ) = w ( b ) = 0 .  
(11)
Решением задачи (10) является линейная функция
Ь — х 
х — а
v(x) = - ------ Щ + -------- Ц2- 
(12)
Ь — а 
о — а
Далее, интегрируя уравнение (11), получим
t
w' (t) = w ' (a) — ^ / (s) ds.
a
Интегрируя еще раз предыдущее соотношение и учитывая условие гс’( а ) = 0 „
получим
х
/ 
t
w (х) = {х — a) w' (а) — \ \ \ f (s) ds | dt.
Из условия 
ш ( Ь ) =  0 получаем, что
w' (а) =  —
Ь
и, следовательно,
W
(х)
(х) = (х — 
а) ш' (а) — ^ ^ / (s) ds j
Ь , i
а \а 
'
(13)
Решение краевой задачи (8), (9) есть сумма функций (12) и (13).
Для численного решения задачи (8), (9) введем на отрезке 
[а, Ь]
равномерную сетку с шагом 
h
согласно (2) и заменим 
и" (х{)
второй разностной производной 
и-х
Тогда вместо дифференци­
ального уравнения (8) получим разностное уравнение второго по­
рядка
u(_i
- 2и,-+ 
uUl
=
д
Л2
(14)
Это уравнение можно записать для i= 1, 2, . . . ,
N
—1, т. е. во всех 
внутренних точках сетки соЛ. В граничных точках в соответствии 
с (9) следует положить
36
UQ
— fit,
U
n
— Ц2«
(15)

---

Таким образом, применение разностного метода позволяет за­
менить исходную дифференциальную задачу (8), (9) системой из 
(N
— 1) линейных алгебраических уравнений (14), (15) относи­
тельно неизвестных 
ut, и2, . ■
.
, 
uN-i.
Система уравнений (14), (15) 
называется 
разностной схемой
или 
разностной краевой задачей
, 
соответствующей исходной дифференциальной задаче (8) — (9). 
В дальнейшем, чтобы не было путаницы в обозначениях, будем 
через 
и(х)
обозначать решение дифференциальной задачи и через 
yi = y(Xi)
— решение разностной задачи.
Итак, мы получили разностную схему
В связи с этой разностной схемой возникают следующие про­
блемы, которые типичны для разностных методов вообще. Во-пер­
вых, необходимо убедиться, что система линейных алгебраических 
уравнений (16) имеет единственное решение, и указать алгоритм, 
позволяющий получить это решение. И, во-вторых, надо показать, 
что при стремлении шага сетки 
h
к нулю решение разностной за­
дачи будет сходиться к решению исходной дифференциальной 
задачи. Вопросы разрешимости и сходимости разностной задачи 
(16) будут исследованы в п. 6.
Построим по аналогии с (13) точное решение разностной зада­
чи (16). Представим 
y t
в виде суммы
Запишем (17) подробнее:
Vi-,— 2Vi+vi+i = 0,
i'= l, 2, . . . ,
N—
1,
^0= p.l, 
VN=\l2,
и заметим, что соответствующее характеристическое уравнение
q2— 2q+ l= 0
имеет кратный корень 
q = \.
Поэтому согласно (25) из § 3, реше­
ние разностной краевой задачи (17) имеет вид
(16)
У
0
— Ць 
у
N
—Р-
2
-
где
y i = viJrwi, 
i =
v xx.i = ®’