коэффициентов
аи
.. .,
ат
метода наивысшего порядка имеет вид
а 4 + 2а2 + . .
, + та„=
— 1,
а1 + 22а2+ . . . + т2ат = сц,
(25)
ctl
-f-
2
шо
.2~\~.
. . “(-
tnmctm =
0.
Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отли
чен от нуля.
При т = 1 метод (23), (25) совпадает с неявным методом Эйле
ра. При
т =
2 и
т =
3 получаем методы
у
Уп
—
2Уп-1
+ у
Уп
-2
=
I f
(
tn, Уп),
(26)
~~ У
п
ЗУа
- 1
Н ~
Уп
- 2
~ Уп-з -
- Д/ (^П) Уп),
(27)
о
2
3
имеющие,
соответственно, второй и третий порядок точности. При
т=А
из (23), (25) получим схему (21). Для практических расчетов
используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точ
ности.
Важно отметить, что чисто неявные разностные методы обла
дают хорошими свойствами устойчивости, позволяющими исполь
зовать их для решения жестких систем уравнений.
Рассмотрим более подробно метод второго порядка (26) и най
дем область его устойчивости. Для модельного уравнения (4) ме
тод (26)
принимает вид
у Уп
2Уп-i -f" уУп-г = РУ
п
,
(28)
где р = тЯ. Ему соответствует характеристическое уравнение
(~— pj 2 — 2у + у = 0.
(29)
Нам нужно найти множество точек
G
комплексной плоскости
p = p0+ t p b для которых оба корня gi2(p) уравнения (29) не пре
восходят по модулю единицу.
Границей области
G
является множе
ство таких точек р, для которых
\ q\
= 1.
Выразим из уравнения (29) параметр р через переменное
q,
т. е. запишем
Р = у - 2 у ~ 1+ 1
(30)
Отсюда видно, что если |у | = 1, т. е.
ц = е~н,
то
р== у — 2el4f + у е 21'Т
(31)
При изменении аргумента ср от 0 до 2л точка р описывает замк
нутую кривую Г, симметричную относительно
действительной оси
25G
(см. рис. 7). Для точек
jj
,(^
7
), расположенных снаружи от этой кри
вой, выполнено условие |д |< 1 , поэтому область устойчивости
G
метода (28) представляет собой внешность кривой Г. Точки, рас
положенные внутри Г, составляют область неустойчивости. Обозна
чая
a
=
cos
ср, можно переписать (31) в виде
р = (1—
х ) г± Ц \= х * (2 —х),
откуда следует, что вся кривая Г расположена в правой полу
плоскости. Поэтому область устойчи
вости метода (26)
целиком содержит
левую полуплоскость и тем самым ме
тод (26) является Л-устойчивым.
Исследуем аналогичным
образом
область устойчивости метода четверто
го порядка (
2 1
).
Записывая
характеристическое
уравнение в виде
р
(25 -
48<Г1+36<Г2-16<Г3+3<Г4)
Do'stlaringiz bilan baham: