А. А. Самарский, А. В. Гулин

Xv
+ 2
 =
X k + l
—
 
т / 
(.r,lf!) =
X k —
 
i f
 
( x /;) — T
/ 
{xk
 — 
T
/ (**)),
следовательно,
i/fc+l -- --C'i 
'
/2 (**)
/ Pfc) — / (-b — Т/ (•**))
Проведенные построения позволяют предположить, что одно­
шаговый итерационный метод
/ 2 G fo)
Уь+1
— 
Уь
т*
f(yk) - n y k - x f { y k))
(18)
обладает более быстрой сходимостью, чем исходный метод релак­
сации (16). Действительно, как показано, например, в [25], метод 
(18) при т=1 
(метод Стеффенсена)
имеет квадратичную сходи­
мость.
§ 3. Сходимость метода Ньютона
1. Простой вещественный корень. Предположим, что уравнение
f ( x ) =
0 
(1)
имеет простой вещественный корень 
x = xt,
так что 
f ( x j =
0, 
f '( x .)=?=Q-
Будем предполагать, что 
}{х)
дважды непрерывно диф­
ференцируема в окрестности корня х„. Исследуем сходимость ме­
тода Ньютона
X k ^ X k - — ^ - ,
 
/2 = 0 , 1 , . . .
(2)
Г (хк)
Заметим прежде всего, что (2) можно рассматривать как част­
ный случай метода простой итерации
*ft+i = s(xft), 
£ = 0 , 1 , . . . ,
(3)
для которого
s w = * — 
■ 
(4)
/ W
199

---

R § 2 было показано, что для сходимости метода (3) достаточ­
но потребовать, чтобы в некоторой окрестности искомого корня 
выполнялось неравенство
\ s ' ( x ) \ ^ q < \ .
(5)
Для функции (4) имеем
s'(x)
{
(х) 
г
(*) 
(Г W)2 ’
и если 
хт
— корень 
f (x),
то s '(x #) = 0. Поэтому найдется окрестность 
корня, в которой выполнено неравенство (5). Тем самым при над­
лежащем выборе начального приближения метод Ньютона сходит­
ся. Однако следствием малости 
s'{x)
в окрестности 
является 
не просто сходимость, а сходимость существенно более быстрая, чем 
в общем случае метода простой итерации. В следующей теореме 
доказано, что метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т. е. 
что он сходится и погрешность на (й-{-1)-й итерации пропорцио­
нальна квадрату погрешности на й-й итерации.
Т е о р е м а 1. 
Пусть х.
— 
простой вещественный корень уравне­
ния
(1
) и пусть У( х ) Ф
0 
в окрестности
Ur(x
.) = {*: 
\х—х ш\
< г } .
Предположим, что f"(x) непрерывна в Ur(x,) и
0 < m 1=
inf 
| / ' (х) |, АТ2= sup |/"(х)|,
X & J r (X,) 
X & J
г \х,)
(