А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 3. Здесь отметим без доказательства лишь две особенности этого 
метода. Во-первых, метод имеет 
квадратичную сходимость,
т. е. в 
отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации 
пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: 
xk+l—x, = 0 ( ( x k—x. )2).
И, во-вторых, такая быстрая сходимость метода Ньютона гаран­
тируется лишь при очень хороших, т. е. близких к точному решению, 
начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано 
неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется 
вообще.
Модифицированный метод Ньютона
**+1
= ** — 
7 7
*
7
, 
k = 0 , \ , . . .
(
10
)
Г
(*о)
применяют в том случае, когда хотят избежать многократного вы­
числения производной 
f'(x).
Метод (10) предъявляет меньше тре-
193
7 
А. А. С а м а р с к и й , А. В. Гулин

---

бований к выбору начального приближения 
х с,
однако обладает 
лишь 
линейной сходимостью,
т. е. хЛ+1—
х. = 0 ( х к
—х.).
Метод (10) гарантирует отсутствие деления на нуль, если 
Г(х„)ф0.
4. Метод секущих. Этот метод получается из метода Ньютона
/
( х к ) —
/
( X f
)
(9) заменой 
f' (xh)
разделенной разностью ------------:— , вычис-
хк ~ xk-
1
ленной по известным значениям 
хк
и 
хк-,.
В результате получаем 
итерационный метод
Xk
ц --
Xfi
Кк
- 1
/ 
(Хк) —
/ К - Р
7 (*/<), 
k =  1, 2,
( И )
который в отличие от ранее рассмотренных методов является 
двух­
шаговым,
т. е. новое приближение 
хк+,
определяется двумя преды­
дущими итерациями 
хк
и 
xh-i.
В методе (11) необходимо задавать 
два начальных приближения 
хи
и лд.
Геометрическая интерпретация метода секущих состоит в сле­
дующем. Через точки (лд_,, 
f (хк-
1
)), 
(хк, f (xh))
проводится прямая, 
абсцисса точки пересечения этой прямой с осью 
Ох
и является 
новым приближением 
хк+1.
Иначе говоря, на отрезке 
[xh- u
лд] функ­
ция 
f (х)
интерполируется многочленом первой степени и за оче­
редное приближение дд+1 принимается корень этого многочлена.
5. 
Интерполяционные методы. Идея 
интерполяционных методов
состоит в том, что нахождение корней уравнения (1) заменяется 
нахождением корней интерполяционного многочлена, построенного 
для 
f(x).
Интерполяционный метод первого порядка приводит к 
методу секущих. Интерполяционный метод второго порядка назы­
вается 
методом парабол.
Метод Ньютона (9) можно получить, за­
меняя 
f(x)
интерполяционным многочленом Эрмита первой сте­
пени.
Получим формулы метода парабол. Пусть приближения 
хк- 2,
хк- и хк
известны. Построим интерполяционный многочлен Ньютона 
(см. (11) из § 1 гл. 3)
p 2{x) =f ( xh) + (x—xh) f ( x kj
.*„_,) +