А. А. Самарский, А. В. Гулин

N
1 = 1
т. e, будет достигнута заданная точность е.
Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (24) не бу­
дет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два 
раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном 
отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута 
оценка вида (24). Заметим, что для некоторых функций 
f(x)
такое 
измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соот­
ветствующей программе следует предусмотреть ограничение свер­
ху на число измельчений, а также возможность увеличения е.
Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования 
приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на 
участках плавного изменения функции 
f(x)
и с мелким шагом — 
на участках быстрого изменения 
f(x).
Это позволяет при заданной 
точности е уменьшить количество вычислений значений 
f(x)
по 
сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, 
что для нахождения сумм / h/2,( не надо пересчитывать значения 
f(x)
во всех узлах, достаточно вычислять 
f(x)
только в новых узлах.
6. 
Экстраполяция Ричардсона. Способ повышения точности 
квадратурной формулы, рассмотренный в конце п. 4, можно обоб­
щить на случай многократного измельчения сетки.
169

---

Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок [а, 
6] разбит на Л/' равных отрезков длины /г = (Ь—и)/Л/ и на каждом 
частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная фор­
мула. Тогда исходный интеграл / заменяется некоторой квадратур­
ной суммой Д, причем возникающая погрешность зависит от шага 
сетки 
h.
Для некоторых квадратурных формул удается получить 
разложение погрешности Д
—I
по степеням 
h.
Предположим, что 
для данной квадратурной суммы Д существует разложение
Д 
=
I
+
+
а Х г
+ . . . +
a S ' n
+
о (ham+\
(25)
где 0 < a i < a 2< . . 
. < а т< а т+,
и коэффициенты а,- не зависят от 
h. 
Подчеркнем, что получение подобных разложений является труд­
ной задачей анализа и здесь не рассматривается. Явный вид коэф­
фициентов а,- нам не потребуется, однако величины а г предполага­
ются известными.
Вычислим приближенно значение интеграла 
I
по данной квад­
ратурной формуле на последовательности сеток с шагами 
h 0 
= 
h, 
hlt hi, . . . t hm.
Для определенности будем предполагать, что сетка 
измельчается по геометрической прогрессии, т. е. 
h k = q kh 0, k = 0, 
1, . . . , m, где <7^(0, 1). Вычисляя квадратурную сумму Д при раз­
личных значениях 
h,
получим величины 
h k,
Л = 0, 1, . . . , т , причем 
согласно (25) будем иметь
Ihk = I
-f- 
dyhf{'
-Д 
ajift’
-Д . . . -Д 
amhk
+
О (hit
+l). 
(26)
Обозначим / (0) = / , 
I
= Ihk.
Исключая коэффициент 
а,
из соот­
ношений
= / +
a X U + О (htr),
1%=*1+ * № + (>(№),
получим 
где обозначено
/ = //<
1 1 + 0 (С -1),
/(и _ /И)
И2) г(1) 
I 
hk 
hk - l
(27)
(28)
По формулам (28) можно вычислить величины 
& = 0, 1, . . .
. . . , m— 1. Согласно (27), они дают более точное, чем /j^, прибли­
жение к интегралу 
I.
Этот процесс повышения точности можно про­
должить, вычисляя величины 
с помощью рекуррентных соотно­
шений
/(/> 
_
/(/)
/(/+1) 
/О') 
I
Ihk-i 
lhk-i
f
. 
a.- 
’
1 
—q 1
/ ' = 1 , 2 ,
k = \ , 2
...........
m —j + l ,
= V
* = 0. 1. 
■■■ , m.
(2 9 )
170

---

Л е м м а 1. 
Пусть для квадратурной суммы Ih справедливо раз­
ложение
(25) 
и сетка измельчается по правилу hk=q hh, k = 0,
1, . . .
. . . , m. Тогда для величин Ihl_v определенных согласно
(29), 
спра­
ведливы разложения
iliL
=/ + *№ + &Ю1 + ... + ь!№+о 
{hlT),
/ = 1. 2, 
. . . , m, k =
1, 2, . . . ,
m —
/ + 1, 
(30)
где коэффициенты ур не зависят от сетки.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем его индукцией по /. При / = 1 
равенство (30) выполняется с 
bP = a{
согласно (25). Предположим, 
что равенство (30) выполняется при / = / и докажем, что оно вы­
полняется при / = /+ 1 .
Имеем