А. А. Самарский, А. В. Гулин



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet103/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   99   100   101   102   103   104   105   106   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

 — 
« 1
 
Уз — У\

ь = - ^
Хч — JCi
и, — их
«з — 
“ 1
 
Уз — У
1
д
— 
* 1
— 
Ui
(
8
>
где
Уз — Уг
У з ~ У \
Выражения (
8
) и задают искомые приближения к производным 
ди/дх, ди/ду.
Определитель Д данной системы не равен нулю, так как по ус­
ловию точки 
А и А 2, А 3
не лежат на одной прямой.
Заметим, что соотношения (7), (
8
) можно записать в виде
= 0 ,
>50
U — Щ 
X — JCj 
у — у у
ц
2
 — щ 
х2 — хг 
У ч

у ,
и 3
— «1 
Х 3

X ,
У з

у
!


т. 
е. в виде уравнения плоскости, проходящей через три заданные
точки 
(хи у и щ),
i = l ,
2
, 3.
2. Общая постановка задачи интерполирования.
резке 
[а, Ь]
задана система функций
Пусть на от-
фо (■«) , ф! (х),. . . , ф„(х)
(9)
,и введена сетка
а ^ х
oCXjC. . . 
< x n^.b.
(
10
)
■•Образуем линейную комбинацию
ф(х)=С
0
фо(х)+С
1
ф
1
(х)4~- • ■
+ Спф„ 
(х)
(И )
с числовыми коэффициентами с0, 
си . . ., сп.
Задача интерполирова­
ния функции 
f(x)
системой функций (9) на сетке (10) состоит в 
нахождении коэффициентов с0, 
си . . . ,
с„, для которых выполнены 
условия
(p(xj)=f(xj),
/ =
0
,
1

(
12
)
Интерполирование алгебраическими многочленами 
является 
частным случаем сформулированной задачи, когда фЛ(х) = х \
k =
=0, 1, . . . .
п.
Возникает вопрос о существовании и единственности 
решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (12) 
'более подробно:
с0Фо (хо) + cifPi W + • ■
• +
Ыр* (х0) = f (х0),
соФо (*i) + С
1
Ф
1
(Xl)
 
+ • • • +
СпУп
(*i) =
f (х,),
С0Фо 
(Хп)
+ CjiPx 
(хп)
-f . . . +
С„ф„ 
(хп)
= / (*rt).
Д ля того чтобы эта система имела единственное решение, необхо­
димо и достаточно, чтобы определитель матрицы
'ф о (*о)
ф1 (
Хо
) ■ • Ф „ м
А =
Фо (*])
ф1 
(X,) 
.

Ф я ( 0
фо (*д)
ф! (•*■„) ■
• Ф 
п(хп)
был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы 
х0, x l t . . . , х п
мо­
гут быть как угодно расположены на 
[а, Ь],
лишь бы среди них 
не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы det 
АФО
при любом расположении узлов. Выполнение или невыполнение 
этого требования зависит от выбора системы функций (ф*.(х)}£=0.
Система функций {
ф
Д
х
)}
а
=
о
называется 
системой Чебышева
на 
[а,Ь],
если определитель матрицы (13) отличен от нуля при 
любом расположении узлов 
xh^ [ a , b], k = 0,
1
, . . . . и, когда среди 
этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача ин­
терполирования однозначно разрешима, если 
{q>k(x)}k=o
чебы- 
шевская система функций. Функция 
ф ( х ) ,
определенная согласно
(
1 1
) и удовлетворяющая условиям интерполяции (
12
), называет­
ся 
обобщенным интерполяционным многочленом
по 
системе

а
(*)}£=<>■
151


Система алгебраических многочленов с
pk( x ) = x
k, 
k = 0,
1, 
п,
является чебышевской системой на любом отрезке 
[а, Ь\.
Система 
тригонометрических многочленов фДх) (см. пример 
1
) является 
чебышевской системой на отрезке периодичности.
Приведем примеры систем функций, не являющихся чебышевскими. Пусть
на отрезке [—
1

1
] задана система функций
Фо 
( х )
Фт М =
Г’
\ X,

1

О :
;*<о,
Г* <
1
.
Если в качестве узлов интерполирования взять, например, точки
1
х 1 = — — , то получим
Ха = —
3_
4 '
I О 
1
0 |
oj
т. е. данная система не является чебышевской на [— I, I].
Менее тривиальным является пример системы
ф о ( * ) =
1 ,
< p i ( x ) = x 2—
1 / 4 ,
* < = [ — 1 , 1 ] .
Выбрав в качестве узлов интерполирования корни функции qpi (д:), т. е. точки
Хо =  —0,5, 
* 1
 = 0,5, придем к той ж е самой матрице 
А.
Вообще, из (13) видно, что если какая-либо из функций 
ф0, фь . . . , ф„ обращается на отрезке 
[а, Ь]
в нуль более чем 
п
раз, 
то система не является чебышевской. Действительно, если, напри­
мер, ф;(х
А) = 0
для некоторого / и для /г=
0

1
,. . . , 
п,
то, выбирая 
точки 
ха, х„ . . .
,
хп
в качестве узлов интерполирования, получим, 
что /-й столбец матрицы 
А
содержит только нулевые элементы.
Можно доказать, что справедливо следующее утверждение 
(см., например, [4]). Для того чтобы система 
(ф*(я
)}£=0
была 
чебышевской на [а, 
Ь\,
необходимо и достаточно, чтобы любой об­
общенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из 
коэффициентов отличен от нуля, имел на 
[а, Ь]
не более 
п
нулей. 
Иногда это свойство принимается за определение чебышевской си­
стемы.
3. Наилучшее приближение 
функции, заданной 
таблично.
Пусть значения функции 
f(x)
и функций фДх), /= 0 , 1, . . . , п, из 
системы (9) известны в точках 
хк^ [ а , b], k = 0,
1, . . . ,
т.
Если 
т>п,
то задача интерполирования становится переопределенной. 
В этом случае можно рассматривать 
задачу о наилучшем прибли­
жении,
которая формулируется следующим образом.
Введем обобщенный многочлен (11) и будем рассматривать его 
значения только в узлах 
хк,
т. е.
Ф (
хк
) = с
0
ф
0
 
(хк) 
+ с у р ,
(хк)

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   99   100   101   102   103   104   105   106   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish