Сети связи

2Seti_sviz.indd 133
29.09.2009, 13:11:33

---

134
Лекция 9. Задачи анализа и проектирования ТфОП
дом УК – взаимно независимые случайные величины. Если функция 
распределения длительности установления соединения для каж-
дого 
jго
компонента известна – 
S
j
(
t
), то справедливо следующее 
соотношение:
S t
S t
S t
S t
S t
0
1
2
3
4
( )
( )
( )
( )
( )
=
. (9.9)
Символ 
указывает на операцию свертки функций. Даже пред-
положив, что все функции 
S
j
(
t
) идентичны, весьма сложно вывести 
искомое распределение 
S
0
(
t
). Одним из способов решения задачи 
служит переход к преобразованию ЛапласаСтилтьеса, что позво-
ляет упростить нахождение свертки функций. Например, для самой 
простой модели УК в виде однолинейной системы при условии, что 
распределения 
A
(
t
) и 
B
(
t
) определяются формулой (9.2), преобра-
зование ЛапласаСтилтьеса функции 
S
0
(
t
), обозначаемое как 
S*
0
(
s
), 
представимо следующим образом:
S s
s
s
0
1
1
2
2
3
3
4
4
1
1
2
2
*
( )
(
)(
)(
)(
)
[
(
)][
(
)][
=
−
−
−
−
+
−
+
−
µ λ µ
λ µ λ µ
λ
µ λ
µ
λ
ss
s
+
−
+
−
(
)][
(
)]
µ λ
µ
λ
3
3
4
4
.
(9.10)
Величины 
µ
j
и 
λ
j
определяют интенсивность обслуживания и 
поступления заявок для 
jго
УК соответственно. Если параметры 
трафика для всех четырех УК идентичны (вполне логичное предпо-
ложение), то нижние индексы при величинах 
µ
j
и 
λ
j
можно опустить. 
Тогда выражение (9.10) упрощается:
S s
s
0
4
4
*
( )
(
)
[
(
)]
=
−
+ −
µ λ
µ λ
.
(9.11)
Обратное преобразование позволяет получить выражение для 
расчета функции 
S
0
(
t
). Осуществляя необходимые операции, мож-
но вывести следующую формулу: 
S t
e
t
i
t
i
i
0
1
1
4
1
1
( )
[(
) ]
(
)!
(
)
= −
−
−
− −
−
=
∑
µ λ
µ λ
.
(9.12)
На рис. 9.5 приведены графики двух функций распределения. 
Функция 
S
j
(
t
) подчиняется экспоненциальному закону распределе-
ния. Функция 
S
0
(
t
) определяется выражением (9.12). Для обоих гра-
фиков введены идентичные условия 
µ
=1, а 
λ
=0,5. Предполагается, 
что для функции 
S
0
(
t
) нормирована вероятность 0,95, с которой вре-
мя установления соединения не должно превышать значение 
t
0
. Это 
означает, что введенная ранее вероятность 
R
0
{
t
q
,
≥
t
0
}=0,05.
2Seti_sviz.indd 134
29.09.2009, 13:11:33

---

Часть 1. Телефонная сеть общего пользования
135
Функции распределения времени установления соединения
t
0
5
15
20
(Один УК)
(Четыре УК)
1,0
0,8
0,2
0,6
0,4
j
t
0,95
(
t
)
j
S
(
t
)
0
S
10
0
t
Рис. 9.5. Функции распределения времени установления соединения
Для функции
S
j
(
t
) то значение 
t
j
, которое не должно быть превы-
шено с вероятностью 0,95, легко определяется графически. Значе-
ние 
t
j 
может быть получено и аналитически в результате решения 
уравнения 
S
j
(
t
)=0,95 относительно переменной 
t
. Такой подход мо-
жет быть использован при условии, что для функции 
S
0
(
t
) определе-
ны все параметры трафика (например, необходимая интенсивность 
обслуживания 
µ 
для известной интенсивности входящего потока 
заявок 
λ
). 
Ключевые слова:
пропускная способность, производительность, опти-
мизация, прогнозирование, вероятность, математическое ожидание, функция 
распределения, нормирование.