Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 9. 
На доске 3х5 все клетки белые, а один угол черный. За ход можно поменять цвет 
всех клеток в одной строке или столбце. Можно ли все клетки сделать белыми?
Решение:
Четность числа черных клеток 
на всей доске, 
увы, меняется очень часто, а потому 
нам не поможет. Где бы найти такую часть доски, на которой эта четность неизменна? У нас 
тут в условии нерегулярность в углу - так возьмем 4 угла. При операции перекрашивания 
меняет цвет 
ровно два 
угла, либо 
ни один 
- т.е. четность числа черных углов - 
инвариант, 
Но 
в начале такой угол один, а в конце хочется ноль - нельзя.
Задача 10.
На окружности стоит 12 точек, в одной написано -1, в остальных + 1, Можно 
изменить знак у трех единиц подряд. Можно ли сдвинуть единственную -1 в соседнюю
вершину?
Решение:
Пусть, для определенности, мы сдвинули -1 в соседнюю против часовой стрелки 
вершину (иначе можно всю картинку зеркально отразить и получить именно такую). 
Давайте занумеруем вершины, начиная с исходной -1, уже 
по часовой стрелке 
(тогда то, 
куда сдвинулось -1 - это вершина 12). Давайте выделим такую часть (множество вершин), 
где есть первая вершина, нет 12-й, а четность кол-ва -1 - инвариант (тогда это кол-во в 
данной части надо будет изменить с 1 до 0, а это невозможно из-за четности). Правильное 
такое множество - вершины с номерами 1,2,4,5, 7, 8, 10 и 11.
Упражнение.
Придумать такие множества, если мы меняем знак не у трех, а у 4 или 6 
единиц подряд.
Инвариант и раскраски клетчатых досок. Очень важный и стоящий несколько особняком 
класс задач на инвариант - какие-то преобразования на клетчатых досках. Либо мы ходит 
чем-нибудь по доске, либо заставляем доску фигурами. В любом случае, очень полезной 
может быть 
раскраска 
доски в два или более цветов, обладающая какими-то особыми 
свойствами. Наиболее распространенные раскраски:
- шахматная (два цвета чередуются так, что любые две соседние по стороне клетки - разных 
цветов);
- "матрас" (чередование строк, выкрашенных в два цвета - или столбцов);
- укрупненная шахматная (в шахматном порядке красятся не отдельные клетки, а целые блоки 
2х2, 3х3 и т.д.);
- укрупненный "матрас" (чередуются не строки, а одинаковые по толщине блоки из 
строк);
- "матрас" в N цветов: чередуются строки, выкрашенные в цвета, l-й, 2-й, ... N-й, l-й, 2-й и
т.д.
- шахматная в N цветов - легче показать, чем написать; см. на рис. пример для 3-х цветов; 
можно и по-другому, чтобы одноцветные диагонали 'были наклонены в другую сторону.
Обычный инвариант - цвет клеток, по которым мы ходим (или какое-то чередование цветов, 
или какие-то цвета, на которые мы никогда не попадаем ... ), либо количества клеток тех и 
других цветов на всей доске и в фигурах замощения (если не совпадают, то замостить нельзя). 
Смотрите приведенные ниже примеры.
Задача 11.
Фигура "крокодил" ходит по клетчатой доске на 3 клетки в одном направлении и 
одну в перпендикулярном (почти как шахматный конь, только конь ходит не на 3, а на 2 
клетки). Докажите, что нельзя пройти крокодилом с какого-то поля на соседнее (по стороне) 
с данным.
Решение:
Раскрасим доску в шахматном порядке. Тогда (нетрудно убедиться) крокодил 
при своем ходе не меняет цвет клетки, на которой стоит. А соседняя клетка, увы, другого 

---

111 
цвета, ч.т.д.