Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

№ Название темы 
Кол-во часов 
Форма проведения 
лекция 
практика 
1 
Четность 
2 
1 
1 
2 
Делимость и остатки 
3 
1 
2 
3 
Принцип Дирихле 
3 
1 
2 
4 
Инвариант и раскраски 
4 
1 
3 
5 
Комбинаторные задачи. Игры 
5 
2 
3 
6 
Текстовые задачи 
5 
2 
3 
7 
Неравенства 
5 
2 
3 
8 
Геометрия 
5 
1 
3 
9 
Итоговое занятие 
2 
- 
2 
ИТОГО: 
34 
11 
23 
 
 
 

---

100 
 
1.
 
Четность 
2.
 
Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством в 1, 3 и 5 
рублей?
 
(Эта задача появилась в то время, когда в ходу были купюры достоинством в 
1, 
3,5.10.25.50 и 100 рублей.)
Ответ. Нельзя.
Заметим, что сумма четного числа нечетных чисел четна, а число 125 нечетное, 
поэтому разменять 125 рублей требуемым образом не удастся.
2.
Вдоль забора растут 8 кустов малины, Число ягод на соседних кустах 
отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
Ответ. Не может.
Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних 
кустах вместе нечетное чис- ло ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах 
равно сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах 
вместе не может быть 225 ягод.
3. Можно ли заменить звездочки в равенстве
1 * 2 * ... * 10 = О
на знаки «+» и «-») так, чтобы равенство стало верным?
Ответ. Нельзя.
Заменив все звездочки на плюсы, мы получим, что значение выражения в левой 
части равно 55. Начнем теперь заменять некоторые плюсы на минусы. При этом 
каждый раз значение выражения будет уменьшаться на четное число, т. е. 
значение выражения, стоящего слева, всегда будет нечетным числом. Значит, 
четное число О мы получить не сможем.
4.
В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами 
дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли 
подданные справиться с приказом короля?
Ответ. Не смогут.
Подсчитаем количество дорог, которое необходимо проложить в королевстве. Из 
каждого города должно выходить 7 дорог. Всего городов 1001, т. е. всего должно 
выходить 1001∙7 дорог. Но при этом каждую до- рогу мы посчитали дважды, т. е. 
на самом деле в королевстве должно быть проложено 
2
7
1001

дорог, чего сделать, 
очевидно, не удастся.
5.
Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
Ответ. Нельзя.
Предположим, что мы смогли разрезать выпуклый 13-угольник на 
параллелограммы. Пусть 
а
1
 
- сторона параллелограмма 
Р
1
, 
лежащая на стороне 
13-угольника 
М, а
2
 
- параллельная ей сторона. Если 
а
2
 
не явля- ется стороной 
М, 
то на прямой 
l, 
содержащей 
а
2
, 
по другую сторону от параллелограмма 
Р
1
расположен параллелограмм 
Р
2
, 
сторона которого лежит на 
l. 
Продолжая 
аналогично, мы дойдем до параллелограмма со стороной, лежащей на М
. 
Значит, 
стороны 13-угольника разбиваются на пары параллельных. Однако их нечетное 
число - противоречие.
6.
Можно ли все клетки таблицы 9 х 2000 заполнить натуральными числами 
так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке 
были бы простыми числами?
Ответ. Нельзя. 
 
Предположим, что мы сумели расставить числа требуемым образом, 
Заметим, что сумма чисел в любом столбце и в любой строке больше двух. 
Поэтому все соответствующие суммы нечетны, так как они простые и 
Рис. 1

---

101 
больше двух. Тогда сумма всех чисел в таблице, с одной стороны, равна сумме 
девяти простых нечетных чисел, т. е. нечетна, а с другой стороны, она равна 
сумме 2000 простых нечетных чисел, т. е. четна, - противоречие.
7.
Докажите, что доску 10 х 10 нельзя замостить фигурками вида Решение. 
Предположим, что мы смогли замостить доску 10 х 10 требуемым образом. Рассмотрим 
шахматную раскраску доски. На доске будет 50 белых и 50 черных клеток. Заметим, 
что каждая фигурка будет накрывать либо три, либо одну черную клетку (рис. 1). 
Поскольку клеток 100, а каждая фигурка содержит 4 клетки, то всего потребуется 25 
фигурок. Но так как фигурок нечетное количество и каждая из них накрывает нечетное 
количество черных клеток, то все фигурки накроют нечетное число черных клеток 
(сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна). Однако они должны накрыть 50 
черных клеток - четное число.