Solving Trigonometric Equations She Loves Math

Solving Trig Inequalities Graphically

Solving Trig Inequalities Algebraically

\(-6\left| {\sin \theta } \right|\le -3\,\,\,\,\,\,\text{over reals}\)

\(\displaystyle \left| {\sin \theta } \right|\ge \frac{1}

{2}\,\,\,\,\,\,\text{(switch signs!)}\)

Graph both sides of the inequality to see where \(\left| {\sin

\left( x \right)} \right|\) is greater than or equal to \(\displaystyle

\frac{1}{2}\). Just graph between 0 and \(2\pi \) to see the

points of intersection.

We want above (including) \(\displaystyle \frac{1}{2}\),

because of the \(\ge \):

We see the solution is:

\(\displaystyle \left( {\frac{\pi }{6}+2\pi k,\frac{{5\pi }}{6}+2\pi k}

\right)\cup \left( {\frac{{7\pi }}{6}+2\pi k,\frac{{11\pi }}{6}+2\pi k}

\right)\)

Set everything to 0 and factor, so we can get our critical values:

 

\(\displaystyle 3{{\cot }^{2}}x+3\cot x-\sqrt{3}\cot x<\sqrt{3};\,\,\,\,\,\,0\le x\le

2\pi \)

\(\displaystyle \begin{array}{c}3{{\cot }^{2}}x+3\cot x-\sqrt{3}\cot x-\sqrt{3}

<0\\3\cot x\left( {\cot x+1} \right)-\sqrt{3}\left( {\cot x+1} \right)<0\\\left( {\cot

x+1} \right)\left( {3\cot x-\sqrt{3}} \right)<0\end{array}\)

\(\displaystyle \,\cot x=-1\,\,\,\,(x=\frac{{3\pi }}{4},\,\,\frac{{7\pi }}

{4})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cot x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\,\,\,\,(x=\frac{\pi }

{3},\,\,\frac{{4\pi }}{3})\)

 

Draw sign chart with critical values \(\displaystyle \frac{{3\pi }}

{4},\frac{{7\pi }}{4},\frac{\pi }{3},\,\frac{{4\pi }}{3},\) and endpoints 0 and \

(2\pi \), since we’re just going between 0 and \(2\pi \). Use  open circles

for the critical values since we have a \(<\). Then check each interval with

a sample value in the last inequality above and see if we get a positive or

negative value.

We need to take values where the function is defined (avoid asymptotes),

so let’s try \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) for the interval less than \

(\displaystyle \frac{\pi }{3}\) for example: \(\displaystyle \left( {\cot \frac{\pi }

{4}+1} \right)\left( {3\cot \frac{\pi }{4}-\sqrt{3}} \right)\approx 2.5\), which is