|
Расчет металлической фермы
Определение внутренних усилий фермы
Зачастую у нас нету возможности применить обычную балку для того или иного строения, и
мы вынуждены применять более сложную конструкцию, которая называется ферма.
Расчет металлической фермы
хоть и отличается от расчета балки, но нам не составит труда
ее рассчитать. От вас будет требоваться лишь внимание, начальные знания алгебры и
геометрии и час-два свободного времени.
Итак, начнем. Перед тем, как рассчитывать ферму, давайте зададимся какой-нибудь
реальной ситуацией, с которой вы бы могли столкнуться. Например, вам необходимо
перекрыть гараж шириной 6 метров и длиной 9 метров,
но ни плит перекрытия, ни балок у
вас нету
. Только металлические уголки различных профилей. Вот из них мы и будем
собирать нашу ферму!
В последующем на ферму будут опираться прогоны и профнастил. Опирание фермы на стены
гаража – шарнирное.
Для начала вам необходимо будет узнать все геометрические размеры и углы вашей фермы.
Здесь нам и понадобится наша математика, а именно - геометрия. Углы находим при помощи
теоремы косинусов.
Затем нужно собрать все нагрузки на вашу ферму (посмотреть можно в статье
Расчет
навеса
). Пусть у вас получился следующий вариант загружения:
Далее нам нужно пронумеровать все элементы, узлы фермы и задать опорные реакции
(элементы подписаны зеленым, а узлы голубым).
Чтобы найти наши реакции, запишем уравнения равновесия усилий на ось y и уравнение
равновесия моментов относительно узла 2.
Ra+Rb-100-200-200-200-100=0;
200*1,5 +200*3+200*4,5+100*6-Rb*6=0;
Из второго уравнения находим опорную реакцию Rb:
Rb=(200*1,5 +200*3+200*4,5+100*6) / 6;
Rb=400 кг
Зная, что Rb=400 кг, из 1-ого уравнения находим Ra:
Ra=100+200+200+200+100-Rb;
Ra=800-400=400 кг;
После того, как опорные реакции известны, мы должны найти узел, где меньше всего
неизвестных величин (каждый пронумерованный элемент - это неизвестная величина). С
этого момента мы начинаем разделять ферму на отдельные узлы и находить внутренние
усилия стержней фермы в каждом из этих узлов. Именно по этим внутренним усилиям мы и
будем подбирать сечения наших стержней.
Если получилось так, что усилия в стержне направлены от центра, значит наш стержень
стремится растянуться (вернуться в первоначальное положение), а значит сам он сжат.
А если усилия стержня направлены к центру, значит стержень стремится сжаться, то
есть он растянут.
Итак, перейдем к расчету. В узле 1 всего 2 неизвестных величины, поэтому рассмотрим этот
узел (направления усилий S1 и S2 задаем из своих соображений, в любом случае у нас по
итогу получится правильно).
Рассмотрим уравнения равновесия на оси х и у.
S2 * sin82,41 = 0; - на ось х
-100 + S1 = 0; - на ось y
Из 1-ого уравнения видно, что S2=0, то есть 2-ой стержень у нас не загружен!
Из 2-ого уравнения видно, что S1=100 кг.
Поскольку значение S1 у нас получилось положительным, значит направление усилия мы
выбрали правильно! Если же оно бы получилось отрицательным, то направление стоит
поменять и знак изменить на «+».
Зная направление усилия S1, мы можем представить, что из себя представляет 1-ый
стержень.
Поскольку одно усилие было направлено в узел (узел 1), то и второе усилие будет направлено
в узел (узел 2). Значит наш стержень старается растянуться, а значит он сжат.
Далее рассмотрим узел 2. В нем было 3 неизвестных величины, но поскольку мы уже нашли
значение и направление S1, то остается только 2 неизвестных величины.
Опять же составим уравнения на оси х и у:
-100 + 400 – sin33,69 * S3 = 0 - на ось у
- S3 * cos33,69 + S4 = 0 - на ось х
Из 1-ого уравнения S3 = 540,83 кг (стержень №3 сжат).
Из 2-ого уравнения S4 = 450 кг (стержень №4 растянут).
Рассмотрим 8-ой узел:
Составим уравнения на оси х и у:
-100 + S13 = 0 - на ось у
-S11 * cos7,59 = 0 - на ось х
Отсюда:
S13 = 100 кг (стержень №13 сжат)
S11 = 0 (нулевой стержень, никаких усилий в нем нету)
Рассмотрим 7-ой узел:
Составим уравнения на оси х и у:
-100 + 400 – S12 * sin21,8 = 0 - на ось у
S12 * cos21,8 - S10 = 0 - на ось х
ИЗ 1-ого уравнения находим S12:
S12 = 807,82 кг (стержень №12 сжат)
Из 2-ого уравнения находим S10:
S10 = 750,05 кг (стержень №10 растянут)
Дальше рассмотрим узел №3. Насколько мы помним 2-ой стержень у нас нулевой, а значит
рисовать его не будем.
Уравнения на оси х и у:
-200 + 540,83 * sin33,69 – S5 * cos56,31 + S6 * sin7,59 = 0 - на ось y
540,83 * cos33,69 – S6 * cos7,59 + S5 * sin56,31 = 0 - на ось х
А здесь нам уже понадобится алгебра. Я не буду подробно расписывать методику нахождения
неизвестных величин, но суть такова – из 1-ого уравнения выражаем S5 и подставляем ее во
2-ое уравнение.
По итогу получим:
S5 = 360,56 кг (стержень №5 растянут)
S6 = 756,64 кг (стержень №6 сжат)
Рассмотрим узел №6:
Составим уравнения на оси х и у:
-200 – S8 * sin7,59 + S9 * sin21,8 + 807,82 * sin21,8 = 0 - на ось у
S8 * cos7,59 + S9 * cos21,8 – 807,82 * cos21,8 = 0 - на ось х
Так же, как и в 3-ем узле найдем наши неизвестные.
S8 = 756,64 кг (стержень №8 сжат)
S9 = 0 кг (стержень №9 нулевой)
Рассмотрим узел №5:
Составим уравнения:
-200 + S7 – 756,64 * sin7,59 + 756,64 * sin7,59 = 0 - на ось у
756,64 * cos7,59 – 756,64 * cos7,59 = 0 - на ось х
Из 1-ого уравнения находим S7:
S7 = 200 кг (стержень №7 сжат)
В качестве проверки наших расчетов рассмотрим 4-ый узел (усилий в стержне №9 нету):
Составим уравнения на оси х и у:
-200 + 360,56 * sin33,69 = 0 - на ось у
-360,56 * cos33,69 – 450 + 750,05 = 0 - на ось х
В 1-ом уравнении получается:
0=0;
Во 2-ом уравнении:
0=0,05;
Данная погрешность допустима и связана скорее всего с углами (2 знака после запятой
вместо 3-ех).
По итогу у нас получатся следующие значения:
Решил перепроверить все наши расчеты в программе и получил точно такие же значения:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
