“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари.
181
называются
затухающими
, так как их амплитуда с течением времени
стремится к 0.
Аналогично из начальных условий находим:
c
1
=
x
o
,
0
0
2
1
v
bx
c
Окончательно уравнение (7) принимает вид:
0
0
0
1
1
1
(
cos
sin
)
bt
v
bx
x
e
x
t
t
(8)
Периодом затухающих колебаний Т
1
называют время между двумя
максимальными
отклонениями
точки
от
положения
равновесия:
1
2
2
1
2
2
Т
b
.
Логарифмическим
декрементом
затухания
называется
логарифм
отношения двух последовательных амплитуд колебания:
1
1
ln
m
m
A
bT
A
В случае если сопротивление велико (
b
),
затухающие колебания
переходят в
апериодические колебания
или
затухающее движение
, при
котором точка асимптотически стремится вернуться в положение равновесия:
2
2
2
2
(
)
(
)
1
2
b
b
t
b
b
t
x
c e
c e
При
b
(случай
критического сопротивления
)
также получим
затухающее движение:
1
2
(
)
bt
x
e
c t
c
Пример.
Материальная точка массы
m
подвешена к
пружине с коэффициентом жесткости
k
. В начальный
момент времени пружину
растянули из положения
статического равновесия на длину, равную
х
0
, и точке
сообщили начальную скорость
v
0
. Требуется следующие:
1. При заданных параметрах
колебательной системы
m
и
k
и начальных условиях
x
o
,
v
o
получить уравнение
гармонических колебаний, построить
график зависимости
смещения
z
от времени
t
. Определить период колебаний
T
аналитически и графически.
2. С учетом силы сопротивления
R=μv
рассчитать
коэффициент затухания
b
и при тех же параметрах системы
(
m
,
k
) и начальных условиях (
x
o
,
v
o
) получить
уравнение затухающих
колебаний. Построить график зависимости смещения от времени. Определить
период колебаний
T
1
и логарифмический декремент затухания η. Величину η
определить двумя способами: аналитическим η =
b
·
Т
1
и графическим η =
ln(A
1
/A
2
) (используя функцию трассировки графика).
3. В одних координатных осях для трех значений коэффициента затухания
b
i
построить графики зависимости затухающих колебаний. Изменяя
максимальное значение
коэффициента затухания
b
2
, определить предельное
значение
b
пр
=
b
2
, при котором затухающие колебания переходят в
“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари.
182
апериодические (предельное значение коэффициента затухания
b
пр
не
должно
быть более частоты собственных колебаний ω).
Решение.
Исходные данные задачи:
m
= 2,0 кг;
k
= 0,48 Н/м;
x
o
= 0,85 м,
v
o
= 0,96 м/с; μ = 0,28 Нс/м. Текст программы и результаты расчетов [1,2]:
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. – Практикум. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.
2. Жилкин В.А. Применение системы Mathcad при решении задач
прикладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Статика. – Челябинск,
2001. – 102 с.
Do'stlaringiz bilan baham: