Министерства высшего и среднего специального

 
1-misol. 
Ushbu
 
 












0
2
,
0
1
,
2
2
3
5
1
y
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni 
)
,
(
0
0
0
y
x
X

= (2; 2) deb 
olib, uning aniq yechimi
)
,
(
y
x

X
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida 
aniqlang. 
Yechish.
Misolning 
yechimi 
jarayonini, 
iteratsiyalardagi 
yaqinlashishlarni 
)
,
(
k
k
k
y
x

X
, orttirmalarni esa 


k
k
k
y
x
X




,
deb, 
quyidagi jadval shaklida ifodalaylik (1-jadval). 

---

9 
 
2-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy 
yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi. 
 
Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi 
– verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista 
iteratsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini







9
,
0
0
,
0
0
,
0
032
,
0
B

---

10 
boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda 
taqqoslanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan 
keyin erishiladi. 
1-jadval. 
k 
x
k 
y
k 
X
X

k
 
2
1
/



k
k
X
X
 
0 
2,000000000 
2,000000000 
1,414213562 
- 
1 
1,693548387 
0,890322581 
0,702167004 
0,351 
2 
1,394511613 
0,750180529 
0,466957365 
0,947 
3 
1,192344147 
0,82284086 
0,261498732 
1,199 
4 
1,077447418 
0,918968807 
0,112089950 
1,639 
5 
1,022252471 
0,976124950 
0,032637256 
2,598 
6 
1,002942200 
0,996839728 
4,317853366E-3 
4,054 
7 
1,000065121 
0,999930102 
9,553233627E-5 
5,124 
8 
1,000000033 
0,999999964 
4,871185259E-8 
5,337 
9 
1,000000000 
1,000000000 
1,272646866E-14 
5,363 
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga 
ega ekanligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
2
1




k
k
C
X
X
 
bog‘lanish 
ildizning yetarlicha yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa 
yetarlicha katta: C 

5,4. 
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u 
holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton 
usulining hisoblash samaradorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. 
Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan bo‘lsak, u yerda 
f
(
x
) va 
f 

(
x
) larni 
hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. 
N
o‘lchovli holda esa 
f
i

(
x
) larni 
hisoblash uchun 
n
2
ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa 
f
i
 
(
x
) larni 
n
marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.

---

11 
2-Misol. 
Quyidagi 
 
 











0
4
,
0
1
2
,
3
2
3
y
xy
y
x
G
y
x
y
x
F
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. 
 
Yechish.
Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish 
7
,
1
2
,
1
0
0


y
x
aniqlangan bo‘lsin. U holda 


1
3
2
6
,
2
3
2
0
0



xy
y
y
x
y
x
J
, demak


910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1



J
(12) formulaga ko‘ra 





















6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
6615
,
1
2343
,
1
2
2


y
x
ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz. 
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga 
ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko‘rish mumkin (3-
rasm): 
> 
plots[implicitplot]({2*x^3-
y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=-
2..2,y=-3..3); 
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-
y-4=0},{x,y}); 
allvalues(%); 
evalf(%); 
{
}
,

x
1.234274484

y
1.661526467
3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar 
sistemasidagi funksiyalarning Maple dasturida 
chizilgan grafiklari. 

---

12 
2. Takomillashtirilgan Nyuton usuli 
Nyuton hisob jarayoni (3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa 
 
 
1
k
W
x

ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi. 
Agar 
 
1
W
x

matritsa izlanayotgan 
x

yechimning atrofida uzluksiz 
va boshlang‘ich yaqinlashsh 
0
x
izlanayotgan 
x

yechimga yetarlicha yaqin 
bo‘lsa, u holda taqriban ushbu
 
 
 
 
0
1
1
k
W
x
W
x



tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha 
qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion 
jarayonlardagi hisoblashlarni kamaytirib, quyidagi 
takomillashtirilgan 
Nyuton usuli
formulasini vujudga keltiradi:


 
 
 
 
 
1
0
1
k
k
k
W
x
f







, 
0,1,2,
k

,
 
 
0
0
x


(14) 
Shuni ta’kidlaymizki, (13) va (14) jarayonlar uchun dastlabki 
yaqinlashishlar 
 
1
x
va 
 
1

o‘zaro mos keladi, ya’ni 
 
 
1
1
x


. 
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 4-
rasmda tasvirlangan): 
1. 
)
0
(
x

boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi. 
2. 
 
)
0
(
1
x
W

matritsani hisoblaymiz. 
3. (14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
4. Agar (13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va 
)
1
(

k
x

(1

) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 
3-qadamga o‘tiladi. 
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni 
analitik yo‘l bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini 
qo‘llash murakkablashadi. Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan 
olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga 
almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan, 
)
(
k
j
x
nuqtada chap ayirma 
bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi quyidagicha 
yoziladi: 

---

13 

 

h
x
h
x
x
x
x
x
f
x
f
k
n
k
j
k
i
k
n
k
j
k
i
j
i
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
,...,
,...,
,...,
,...,





Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila 
qiymatlarini Nyuton formulasidagi Yakob 
matritsasini hisoblashga qo‘llab, iteratsion 
jarayonlar hisobini osonlashtirish mumkin.
Ammo bunda Yakob matritsasi yomon 
shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi mavjud. 
Shuni 
alohida 
ta’kidlaymizki, 
Yakob 
matritsasining analitik ifodasidan foydalanish 
hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha 
osonlashtiradi.
 
3. Nyuton-Rafson usuli 
Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini 
yechish uchun Nyuton usulining takomil-
lashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi. 
 
4-rasm. Nyuton usuli 
modifikatsiyasining 
algoritmi. 
Faraz qilaylik, (1) yoki (1

) nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan 
bo‘lsin. Iteratsion formulani hosil qilishimiz uchun 
f
= (
1
2
,
,
,
n
f f
f
) 
vektor-funksiya komponentalari bo‘lgan 
1
2
,
,
,
n
f f
f
funksiyalarning 
Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tartibligacha hosilasini o‘z 
ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz: 
.
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
...
,
0
...
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
)
1
(
1
1
)
(
2
)
(
2
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
1
1
1




































k
n
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
n
k
k
k
k
k
n
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
 
Bu yerda 
)
...,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
k
k
k
j
k
j
n
x
x
x
f
f

; 
)
(
)
1
(
)
1
(
k
k
k
x
x
x





, (
j
=1,…
n
). 

---

14 
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish 
mumkin: 

































































































)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
(
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
n
k
k
k
n
k
k
k
f
f
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n
yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib quyidagicha yozish ham 
mumkin: 
)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
f
x
W




, 
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, 
W
= 
 
W x
– Yakob matritsasi. 
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, 
)
1
(


k
x
ni 
aniqlaymiz: 
)
1
(
)
(
)
1
(





k
k
k
x
x
x
. 
Bu usulning algoritmi quyidagicha: 
1. 
 
0
x
- boshlang‘ich yaqinlashish va 

- hisob aniqligi beriladi. 
2. 


i
f
, (
i
=1,2,…,
n
) shartning bajarilishi tekshiriladi; agar u 
bajarilmasa, u holda 6-qadamga o‘tiladi. 
3. 
W
– Yakob matritsasi hisoblanadi. 
4. 
f
x
W



tenglamalar sistemasi yechiladi. 
5. 
x
x
x



hisoblanadi va 2-qadamga o‘tiladi. 
6. 
x
natijalar pechatga chiqariladi. 
Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga 
qo‘llanilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini 
hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, 
W
-1
ning 
taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash mumkin. Faraz qilaylik, 
W
-1
– 
Yakob matritsasining 
k
-iteratsiyadagi teskari matritsasi bo‘lsin. (
k
+1)-
iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi: 
1
1
1
1
1








k
k
k
k
k
W
W
W
W
W
. 

---

15 
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator 
kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko‘plab masalalarda bu oxirgi 
formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.