Министерства высшего и среднего специального

 
1-misol. 
Ushbu
 
 












0
2
,
0
1
,
2
2
3
5
1
y
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishini 
)
,
(
0
0
0
y
x
X

= (2; 2) 
deb olib, uning aniq yechimi 
)
,
(
y
x

X
= (1; 1) ni Broyden usuli 
yordamida aniqlang. 
Yechish.
Misolning 
yechimi 
jarayonini, 
iteratsiyalardagi 
)
,
(
k
k
k
y
x

X
yaqinlashishlarni quyidagi jadval shaklida ifodalaylik: 
K 
x
k 
y
k 
X
X

k
 
0 
2,000000000 
2,000000000 
1,414213562 
1 
1,694513211 
0,889023252 
0,703323850 
2 
1,532940994 
0,835742461 
0,557679695 
3 
1,330935487 
0,770464391 
0,402746685 
4 
1,251500757 
0,804076528 
0,318808151 
5 
1,139841409 
0.866849425 
0.193092452 
6 
1.087198127 
0.913245001 
0.123003835 
7 
1.039140157 
0.958904664 
0.056751903 
8 
1.016525113 
0.982554663 
0.024029547 
9 
1.003700722 
0.996037640 
0.005421774 
10 
1.000537288 
0.999428320 
0.000784536 
11 
1.000005832 
0.999993444 
8.774735736E-6 
12 
1.000000808 
0.999999157 
1.167386327E-6 
13 
0.999999806 
1.000000202 
2.795316564E-7 
14 
1.000000000 
1.000000000 
3.994662952E-10 

---

32 
Jadvaldan ko‘rinadiki, bu misolning natijasiga Nyuton usuli bilan 8 
qadamda erishilgan edi. Bu esa Broyden usulining iteratsiya tezligi Nyuton 
usulinikidan past ekanligini ko‘rsatadi. Shunga qaramasdan, Broyden usuli 
ommabop bo‘lib, hisoblash amaliyotida keng qo‘llanilib kelinmoqda. 
 
10. Tezkor tushish usuli (Gradiyent usuli) 
Yuqoridagi (1) tenglamalar sistemasini qaraymiz. Faraz qilaylik, 
i
f
funksiyalar o‘zlarining umumiy aniqlanish sohasida haqiqiy va uzluksiz 
differensiallanuvchan. Quyidagi funksiyani qaraymiz: 
 
 
 
 


2
1
,
n
i
i
U x
f x
f x
f x








. 
Ravchanki, (1) sistemaning har bir yechimi 
U
(
x
) funksiyani nolga 
aylantiradi; va aksincha 
U
(
x
) funksiya nolga teng bo‘ladigan 
1
2
,
,
,
n
x x
x
sonlar (1) sistemaning ildizlari. 
Faraz qilamizki, (1) sistema izolyatsiyalangan yechimgagina ega 
bo‘lib, bu yechim 
U
(
x
) funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo‘lsin. Bu 
bilan masala 
n
o‘lchovli fazoda 
U
(
x
) funksiyaning minimumini topishga 
olib kelinadi. 
Faraz qilaylik, 
x

(1) sistemaning vektor-ildizi, 
 
0
x
esa uning 
boshlang‘ich yaqinlashishi bo‘lsin. 
 
0
x
nuqta orqali 
U
(
x
) funksiyaning 
sath sirtini o‘tkazamiz. Agar 
 
0
x
nuqta 
x
ildizga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u 
holda bizning farazimiz bo‘yicha sath sirti 
 
 
 
0
U x
U x

ellipsoidga 
o‘xshash. 
 
0
x
nuqtadan 
boshlab 
 
 
 
0
U x
U x

sirt 
normali 
bo‘ylab 
harakatlanib, bu harakatni shu normal qaysidir boshqa bir 
 
 
 
1
U x
U x

sath sirtiga biror 
 
1
x
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz. Keyin yana 
 
1
x
nuqtadan harakatni 
 
 
 
1
U x
U x

sath sirti bo‘ylab davom ettirib, bu 
harakatni shu normal boshqa bir yangi 
 
 
 
2
U x
U x

sath sirtiga biror 
 
2
x

---

33 
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz va hokazo. Vaholanki, 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
U x
U x
U x



bo‘lsa, u holda biz shu yo‘l bilan 
harakatlanib, 
U
(
x
) ning (1) sistemaning izlanayotgan 
x
ildiziga mos 
keluvchi eng kichik qiymatli nuqtasiga tezkor yaqinlashib boramiz. Ushbu 
 
1
n
U
x
U x
U
x









  








– tuzilgan 
 
U x
funksiyaning gradiyenti belgilashini kiritib, 
0
1
1
2
,
,
OM M OM M
vektorli uchburchaklardan quyidagini yozamiz: 


 
 
 
1
p
p
p
p
x
x
U x



 
,


0,1,2,
p

. 
Endi 
p

ko‘paytuvchin aniqlash qoldi. Buning uchun quyidagi skalyar 
funksiyani qaraymiz: 
 
 
 
p
p
p
U x
U x






 


. 
Bu 
 


funksiya 
U
funksiya sathining 
 
p
x
nuqtadagi sath sirtiga 
o‘tkazilgan normalga mos keluvchi o‘zgarishini beradi. 
p
 

ko‘paytuvchini shunday tanlash lozimki, 
 


funksiya minimumga 
erishsin. Bu funksiyadan 

bo‘yicha hosila olib, uni nolga tenglashtiramiz. 
Unda quyidagi tenglamani hosil qilamiz: 
 
 
 
 
0
p
p
p
d
U x
U x
d








 





.
(40) 
(40) tenglamaning eng kichik musbat ildizi bizga 
p

ning qiymatini 
beradi. Endi 
p

sonni taqribiy topish usulini qarab chiqaylik. Faraz 
qilamizki, 


kichik parametr bo‘lib, uning kvadrati va undan yuqori 
darajalarini e’tiborga olmaslik mumkin. U holda quyidagiga kelamiz: 
 
 
 
 


2
1
n
p
p
i
i
f
x
U x







 





. 
i
f
funksiyani 

ning chiziqli hadlarigacha aniqlikdagi darajalariga 
yoyib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

---

34 
 
 
 
 
 
 
2
1
p
n
i
p
p
i
i
f x
f
x
U x
x






























, 
bu yerda
1
2
,
,
,
i
i
i
i
n
f
f
f
f
x
x
x
x






 







. 
Bulardan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
0
p
p
n
i
i
p
p
p
i
i
f x
f x
f x
U x
U x
x
x











 














. 
Natijada, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 


 
 
 
 


1
2
1
,
,
p
n
i
p
p
p
p
p
i
i
p
p
p
p
p
p
n
i
p
i
f x
f x
U x
f x
W x
U x
x
W x
U x
W x
U x
f x
U x
x


























, 
bu yerda 
 
i
W x
f
x
  

vektor-funksiya 
f
ning Yakob matritsasi. 
Yuqoridagilardan quyidagi tenglikka kelamiz: 
 
   
2
1
1
2
n
n
i
i
i
i
i
j
j
j
f x
U
f x
f x
x
x
x






















. 
Bu yerdan esa 
 
   
   
   
1
1
1
2
2
n
i
i
i
n
i
i
i
n
f x
f x
x
U x
W x f x
f x
f x
x

























bu yerda 
 
W x


transponirlangan Yakob matritsasi. 
Shularga ko‘ra quyidagi natijaga kelamiz: 
 


 
 


,
2
,
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
f
W W f
W W f
W W f







, 
(41) 
bu yerda soddalik uchun quyidagicha yozuv qabul qilingan: 

---

35 
 
 
 
p
p
f
f x

;
 
 
p
p
W
W x

, 
bularga ko‘ra 


 
 
1
p
p
p
p
p
x
x
W f





,


0, 1, 2,
p

.
(42) 
Gradiyent usuli algoritmining 
blok-sxemasi
 
9-rasmda tasvirlangan.
 
 
1-misol.
Tezkor tushish usili 
(gradiyent usuli) yordamida ushbu 
2
2
2
2
0,1;
3
0, 2;
2
0,3.
x
x
yz
y
y
xz
z
z
xy







 






, 
tenglamalar sistemaning koordinata 
boshi atrofida yotgan ildizlarini 
taqribiy hisoblang. 
 
Yechish
Berilganlarga ko‘ra 
 
 
9-rasm. Gradiyent usuli algoritmining
blok-sxemasi. 
2
2
2
2
0,1
3
0, 2
2
0,3
x
x
yz
f
y
y
xz
z
z
xy




















,
1 2
2
2
3
1 2
3
2
2
1 2
x
z
y
W
z
y
x
y
x
z














,
 
0
0
0
0
x
 
  
 
 
.
(41) va (42) formulalar bo‘yicha quyidagi birinchi yaqinlashishni 
olamiz: 
 
 


 
 


0
0
0
0
0
,
1
,
f
f
f
f



,
 
 
 
1
0
0
0,1
1
0, 2
0,3
x
x
Ef



 
 






. 
Xuddi shunday 
 
2
x
- ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz. Bu yerdan: 
 
1
0,13
0,05
0,05
f


 





,
1
1, 2
0,6 0, 4
0,9
1, 4
0,3
0, 4
0, 2
1,6
W



 






,
 
1
1
0,181
0,002
0,147
W f



 





. 
 
1
1 1
0,181
0,002
0,147
W W f



 





,
2
2
2
0,13 0,2748 0,05 0,2098 0,05 0,1632
0,3719
0,2748
0,2098
0,1632










. 

---

36 
 
2
0,1
0,181
0,0327
0, 2
0,37119
0,002
0, 2007
0,3
0,147
0, 2453
x



 

 


 



 




 




 

. 
Natijaning qanchalik to‘g‘ri va aniq ekanligini tekshirish uchun 
tafovut hisoblaniladi.