Kompleks sonlarning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amalllar. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish. Kompleks o’zgaruvchili funksiya, ularning aniqlanish sohasi

y 

z  x 

-1 

0 

1 

v 

w  u 

-1  0 

1 

56.6-rasm. 

56.7-rasm. 

4-misol. 

w 



z

2  

funksiya yordami bilan 

(Z) 

tekisligidagi 

y 



 

kx 

to’g’ri 

chiziqning 

(W) 

tekislikdagi aksi topilsin. 

Yechish:

y

=

kx, w

=

z

2

 

,

 

u

=

x

2

–

y

2

,  

v

=2

xy

, 

y=kx 



u 



 

x 

2

 



 

k 

2

 

x 

2

 





 

x 

2

 (1 



 

k 

2

 ) 



2 

u

 

1 



 

k 

2

 

; 

v

 

2

k 

1 



 

k 

2

 

u 



 



 

v 

2

k 



v 



 2

x 



 

kx 



 2

kx 

Agar 

k

=2 bo’lsa, u holda 56.8- va 56.9-rasmdagi to’g’ri chiziqlarga ega bo’lamiz. 

y 

4 

 

 

-3 

0 

-4 

4 

x 

 

u

=- 

3 

v 

4 

56.8-rasm. 

56.9-rasm. 

 

Funksiyaning limiti va uzluksizligi 

Biror 

E 

-  kompleks  sohada  w=

f

(z)  funksiya  berilgan  bo’lib, 

z

0



E 

nuqta 

berilgan bo’lsin. 

6-ta’rif. 

Agar oldindan berilgan har qanday kichik 



 >0 

son uchun shunday 

y 

2 

0 

Y

=2

x 

x 

-1 

1 

-2 

---

9 

 

musbat 



(



)>0  sonni  topish  mumkin  bo’lsaki,  |

z-z

0

|<



 

(



)  bo’lganda 



(

z

) - A 

<



o’rinli  bo’lsa, 



(

z

)  funksiya 

A 

o’zgarmas  songa  intiladi  deyiladi  va  quyidagicha 

yoziladi 

lim 

z



z 



(

z

) 



 

A 

(56.1) 

0 

7-

 

ta’rif. 

Agar oldindan  berilgan har qanday kichik  musbat 



 

>0  son uchun 

shunday  musbat 



 

>0  sonni  topish  mumkin  bo’lsaki,  bunda  |

z-z

0

|<



 

o’rinli 

bo’lganda, 



(

z

) - 



(

z

0

 ) 

<



  tengsizlik  o’rinli  bo’lsa, 



(

z

)  funksiya 

z

0

  nuqtada 

uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi 

lim 

z



z 

0 



(

z

) 



 



(

z

0

 ) 

(56.2) 

Bu geometrik jihatdan 

w

=



(

z

) funksiya 

z

0

 nuqtada uzluksiz bo’lsa

, (Z) 

tekisligidagi 

markazi 

z

0

 

nuqtada,  radiusi 



(



)-

ga  teng  bo’lgan  doira  nuqtalari

,  (w) 

tekislikdagi 

markazi 

w

0

 nuqtada, radiusi 



 bo’lgan doira nuqtalariga o’tishini ko’rsatadi. 

8-

 

ta’rif. 

Sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lgan funksiyalar shu sohada 

uzluksiz deyiladi. 

Кompleks o’zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi ta’riflari haqiqiy 

o’zgaruvchining  limiti  va  uzluksizligi  ta’rifiga  o’xshash  bo’lgani  uchun  uzluksiz 

funksiyaning  xossalari,  ular  bilan  bajariladigan  amallar,  ular  haqidagi  teoremalar 

va ularning isboti ham haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar isbotlari kabi bo’ladi. 

Uzluksizlikni  quyidagicha  ham  ta’riflash  mumkin: 

w

(

z

)=



(

z

), 

w

0

=



(

z

), 

z

=

x

+

iy

, 

z

0

=

x

0

+

iy

0

, 



x

=

x

-

x

0

, 



y

=

y

-

y

0

,  bo’lsa, 



z

=

z

-

z

0

=



x

+

i



y 

va 



w

=



(

z

)-



(

z

0

) 

funksiya orttirmasi bo’ladi. 

9-

 

ta’rif. 

Agar haqiqiy kichik musbat 



 

>0 uchun shunday 



(



)>0 son topish 

mumkin  bo’lsa, 



z



<



(



)  bo’lganda 



W



<



 

o’rinli  bo’lsa, 



(

z

)  funksiya 

z

0

 

nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi 

 

Agar 

z

=

x

0

+

iy

0

 bo’lsa, 

lim 



W 



 0 



z



0 

(56.3) 

 

bo’ladi va 



(

z

)-



(

z

0

)=[

u

(

x

,

y

)-

u

(

x

0

,

y

0

)]+

i

[

v

(

x

,

y

)-

v

(

x

0

,

y

0

)] 



(

z

) 



 



(

z

0

 ) 



(56.4) 

9-ta’rifdan quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi 

[u(x, y) - u(x

0 

, y

0 

)] 



 



 





[v(x, y) - v(x 

0

, y

0

 )] 



 



 



(56.5) 

Demak, 

u

(

x

,

y

) va 

v

(

x

,

y

) funksiyalar (

x

0

,

y

0

) nuqtada uzluksiz ekan. 

5-

 

misol. 

w

=

z

2

 funksiya ixtiyoriy 

z

0

 nuqtada uzluksizmi? 

Yechish: 



w

=(

z

0



z

)

2

-

z

0

2

=2

z

0



z

+(



z

)

2

 

[

u

(

x

, 

y

) 



 

u

(

x

0 

, 

y

0 

)]   



 [

v

(

x

, 

y

) 



 

v

(

x 

, 

y 

)] 

2 

2 

0 

0 



---

10 

 

q 

z

 

lim 



W 



z



0 



  lim [2

z 



z



0 

0

 



z 



 (



z

) 

2

 ] 



 2

z 

lim 



z



0 



z 



lim 



z



0 

(



t

) 

2

 



 0 

 

Asosiy elementar funksiyalar 

1.

 

Darajali funksiya: 

w

=

z

n

 

a)

 

n 

- natural son bo’lsa, 

n



N

, 

w

=

z

n

=

r

n

e

in



; 

b)

 

n

=1/

q 

- kasr son bo’lsa 

w 



 



 

q

 







 



 2



k 



 

i 

sin 



 



 2



k 



,

 

 

 

 

k 



 0, 



1, 



 2,... 

r 



cos 





 

q 

q 



q

- ta ildizga ega. 

2.

 

Кo’rsatkichli funksiya: 

Biz 

a

=

e

z

 

bo’lgan 

hol 

bilan 

ko’proq 

ish 

ko’ramiz, 

ya’ni 

w

=

e

z

=

e

x

+

iy

=

e

x

(cos

y

+

i

sin

y

) bundan: 

1) 

e

z

+2



i

=

e

x

+

iy

+2



i

=

e

x



e

i

(

y

+2



)

=

e

x

[cos(

y

+2



)+

i

sin(

y

+2



)]=

e

x



e

iy

=

e

z

, 

ya’ni 

w

=

e

z

 

funksiya  2



i 

sof  mavhum  davrli.  Bu  haqiqiy  sonlar  nazariyasidagi 

ko’rsatkichli funksiyadan farqli demakdir. 

2)

 

e

z

1



z

2 

3)

 

e

z

1



z

2 



 

e

z

1  



 

e

z

2  

; 



 

e

z

1   

/ 

e

z

2  

; 

4)  



e

z

 



m

 



 

e

zm 

 

mos bo’ladi. 

3.

 

Logarifmik funksiya

: 

w

=ln

z 

Logarifmik  funksiya  deb,  ko’rsatkichli  funksiyaga  teskari bo’lgan 

w

=ln

z 

ushbu ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi. agar 

z

=

e

w

 

bo’lsa, 

w

=ln

z 

bo’ladi. 

w

=ln

z

=ln(

re

i



)=ln

r

+

i



+2

k



i 

(

k

=0, 



1, 



2, ... ) 

bunda ln

r

+

i



 

- logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi. Bulardan ko’rinadiki, 

kompleks  o’zgaruvchining  logarifmik  funksiyasi  ko’p  qiymatli  ekan.  Кompleks 

o’zgaruvchining  logarifmik  funksiyasi  ham  haqiqiy  o’zgaruvchining  logarifmik 

funksiyasining ko’pgina xossalariga bo’ysunadi. 

Masalan: 1) ln(

z

1

 

z

2

)=ln

z

1

+ln

z

2

  3) ln(

z

n

)=

n

ln

z

+2

k



i 

2) ln(

z 

/

z 

)=ln

z 

-ln

z 

4) 

ln

n

 

Z 



 

1 

lnZ 

1    2 

1 

2 

n

 

6-

 

misol. 

3+4

i 

ning logarifmini toping. 

 

Yechish: 

z 



 3 



 4

i 





 5

, argz=arctg 

4

 

3 

4 

4 

ln(3+4

i

)=ln5+

i

arctg 

3 

, 

ln(3+4

i

)=ln5+

i

arctg 

3 

+2

k



i 

(

k

=0, 



1, 



2, ...) 

4.

 

Кompleks o’zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari 

9 



16 

0 

---

11 

 

1 



 

z 

2

 

Ushbu 

e

iz

=cos

z

+

i

sin

z 

va 

e

-

iz

=cos

z

-

i

sin

z 

Eyler formulalari berilgan bo’lsin. Bu 

formulalarni  hadlab  qo’shib  va  ayirib,  quyidagi  funksiyaning  trigonometrik 

funksiyalarini aniqlaymiz. 

eiz 



 

e



iz 

eiz 



 

e



iz 

sin 

z 

e



iz 



 

eiz 

w 



 cos 

z 



,  sin 

z 



2 

2

i 

,

 

tgz 



 

cos 

z 



 

i 

eiz 



 

e



iz 

; 

eiz 



 

e



iz 

ctgz 



 

i 

eiz 



 

e



iz 

; 

Кompleks  o’zgaruvchilarning  trigonometrik  funksiyalari  ham 

haqiqiy  o’zgaruvchili  funksiyalarning  ko’pgina  xossalariga  bo’ysunadi.  Bunda 

faqat  kompleks  son  cos

z 

va  sin

z 

funksiyalarining  modullari  birdan  katta  ham 

bo’lishi mumkin. 

Masalan: 

sin 

i 



 

eii 



 

e



ii 



 

e



1 



 

e 



 

i 

e

2 



1 



 1,17

i 

 

cos 

i 



2

i 

eii 



 

e



ii 

2 

2

i 



 

e



1 



 

e 

2 

2

e 



 

e

2 



 1 

2

e 

 



1,54. 

 

 

|sin

i

|>1, |cos

i

|>1 

5.

 

Teskari trigonometrik funksiyalar 

Agar 

z

=sin

w 

trigonometrik funksiya berilgan bo’lsa, 

w 

- o’zgaruvchi unga teskari 

funksiya bo’lib, u 

z 

ning arksinusi deyiladi va bunday yoziladi w=Arcsinz. Xuddi 

shuningdek, 

w

=Arccos

z

, 

w

=Arctg

z

, 

w

=Arcctg

z

. 

a) 

z 



 sin 

w 



 

eiw 



 

e



iw 



 

e

2

iw 



 1 



 

e

2(

iw

) 



 2

izeiw 



 1 



 0 

 

 

2

i 

2

ieiw 

e

iw

=

y 

desak, unda 

y

2

-(2

iz

)

y

-1=0 

y

1,2 



 

iz 





 

iz 



 

, 

eiw 



 

iz 



1 



 

z 

2 ; 

iwLne 



 

Ln

(

iz 



1 



 

z 

2 ) 









Xuddi shuningdek, 

w 



 

Arc 

sin 

z 



 

1 

Ln

(

iz 



i 

w 



 

Arc 

sin 

z 



 



iLn

(

iz 





w 



 

Arc 

cos 

z 



 



iLn

(

z 



1 



 

z 

2 ) 



1 



 

z 

2 ) 

 

z 

2

 



1) 

(56.6) 

 

 

 

(56.7) 

w 



 

Arctgz 



 



 

i

 

2 

Ln 

1 



 

iz 

1 



 

iz 

 

(56.8) 

w 



 

Arcctgz 



i 

Ln 

z 



 

i 

2 

z 



 

i 

(56.9) 

Teskari trigonometrik funksiyalar 

Ln 

- ga bog’liq bo’lganligi uchun ular ham ko’p 

qiymatli funksiyalardir. 

7-

 

misol. 

Arctg(1+2

i

) ning barcha qiymatlarini  toping. 

(

iz

) 

2

 



 1 

---

12 

 

i 



 1 

3 



 

i 

4 



 

1 

5 

25 

5 

5 

5 

5 

2 





5 

 

Yechish: Arctg(1+2

i

)= 

1 

Ln 

1 



 

i

(1 



 2

i

) 



 

1 

Ln 

i 



 1 

 

 

 

2

i 

1 



 

i

(1 



 2

i

) 

2

i 

3 



 

i 

kasrning maxrajini komplekslikdan ozod qilib, uning moduli va argumentini 

topaylik: 

i 



 1 



 



 

2 



 

i 

;

 

 

 

 



 



 

2 



 

i 



 



 

1

 

 

 

3 



 

i 

5  5 

5  5 

arg



 

2 



 

i 



 



 



tg 



 

1 



 

2 



 



 



 

1 

; 

 



 



 



 





 



 



 



 

2 



 



 

arctg



 

1 



 



 



arctg 

1 



 



arcctg

2 

 



 





 



Ln



 



 

2 



 

i 



 



 ln 

1

 



 

iarcctg

2 



 2

k





  5 

5 



U holda Arctg (1+2i)= 

k



 



 

1 

arcctg

2 



2 

i 

ln 5 

4 

6.

 

Giperbolik funksiyalar 

Кompleks 

o’zgaruvchilarning 

giperbolik 

funksiyalari 

ham 

haqiqiy 

o’zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi. 

shz 



 

e

 



 

e



 

z



; 

2 

chz 



 

e

 



 

e



 

z 

; 

2 

thz 



 

shz

 

chz 



 

e

z 

e

z 



 

e



z





 

e



z 

; 

cthz 



 

e

 

e

z  



 

e



z 



 

e



z 

;



Bunda 

shz

, 

chz 

lar  2



i 

davrli, 

shz

, 

chz 

lar 



i 

davrli  funksiyalar.  Кompleks 

o’zgaruvchining  giperbolik  va  trigonometrik  funksiyalari  orasida  quyidagi 

bog’lanish mavjud. 

shz

=-

i

sin

iz

, 

chz

=cos

iz

, 

thz

=

i

tg

iz

, 

cthz

=-

i

ctg

iz

. 

 

Isboti: 



 

i 

sin 

iz 



 



i 

e

i

(

iz

) 



 

e



i

(

iz

)



2

i 



 



 

e



 

z 



 

e

z



2 



 

e



 

z 



 

e

z



2 



 

shz 

8-

 

misol

. cos(1+

i

) ning qiymatini hisoblang. 

 

e

1



i   



 

e



(1



i

) 

1

 

Yechish:  cos(1+

i

)=

ch

[-

i

(1+

i

)]=

ch

(1-

i

)= 

2

 

=  (

e

1-

i

+

e

i

-1

)= 

2 

1 

e 



 

e 



1

 

e 



 

e



1

 

= 

2 

[

e

1

(cos1-

i

sin1)+

e

-1

(cos1+

i

sin1)]=cos1 

2 

-

i

sin1 

2 

; 

 

Кompleks o’zgaruvchilar funksiyasining hosilasi 

Agar 

E 

kompleks  sohada 

w

=

f

(

z

)  funksiya  berilgan  bo’lib  va  bu  sohaning 

5 

2 

z 

z 

z 

---

13 

 



y



0 

/ 

biror 

z

0

 nuqtasidagi argument va funksiya  orttirmalari quyidagicha bo’lsin: 



z

=

z

- 

z

0

, 



w

=

f

(

z

0

+



z

)-

f

(

z

0

). 

10-

 

ta’rif. 

Agar 



z 

har  qanday  yo’l  bilan  nolga  intilganda 



w 

nisbat  faqat 



z 

birgina  aniq  limitga  intilsa,  u  limitning  qiymati 

f

(

z

)  funksiyaning 

z

0

  nuqtadagi 

hosilasi deyiladi va 

w

1

, 

f

1

(

z

0

), 

dw 

yoki 

dz 

df 

kabi belgilanadi, demak 

dz 

f 

1

 (

z 

) 



 lim 



w 





z 

lim 



z



0 

f 

(

z

0

 



 



z

) 





z 

f 

(

z

0 

) 

(56.10) 

yoki 

w

=

f

(

z

0

)=

u

(

x

, 

y

)+

iv

(

x

, 

y

); 



w

=



u

+

i



v 

bo’lgani  uchun  (1)  ni  quyidagicha 

yozish mumkin: 

f 

1 

(

z

) 



lim 



w 





z



0 



z 

lim 



u 



 

i



v 



x



0 



x 



 

i



y 

(56.11) 

Chunki, 



w

=

f

(

z

+



z

)-

f

(

z

)=[

u

(

x

+



x

, 

y

+



y

-

u

(

x

, 

y

)]+ 

+

i

[

v

(

x

+



x

, 

y

+



y

)-

v

(

x

, 

y

)]=



u

+

i



v 

Bunda    



u

=

u

(

x

+



x

, 

y

+



y

)-

u

(

x

, 

y

), 



v

=

v

(

x

+



x

, 

y

+



y

)-

v

(

x

, 

y

) 

11-

 

ta’rif. 

Agar 

w

=

f

(

z

)  funksiya 

z

0

  nuqtada  hosilaga  ega  bo’lsa,  uni  bu 

nuqtada differensiallanuvchi yoki monogen funksiya deyiladi. 

10-

 

ta’rifdan  ko’rinadiki,  agar 

f

(

z

) 

z

0

  nuqtada  hosilaga  ega  bo’lsa,  (56.1) 

limitining  qiymati 



z 

nolga qaysi yo’l bilan intilishiga bog’liq emas. Demak, biz 

z

0

+



z 

nuqtani 

z

0

  nuqtaga  parallel  holda  ham  intiltirishimiz  mumkin.  Bu  holda 



z

=



x

, 



y

=0 bo’ladi (56.10 a)-rasm) 

y 



z 

Y

0

+



y 

y 

Z

0

=+ 



z 

Y

0 

Z

0

=+ 



z 



x 



y 





z

ÿ



z 



x 



ÿ

x



z 

Y

0

 

Z

0  

x 

o

 

X

0

 

X

0

+ 



x 

o

 

X

0

 

a)

 

b) 

56.10-rasm. 

 

 

f 

/ 

(

z 

) 



 



u 



 

i 



v 

 

 

 

(56.12) 

0 



x 



x 

Xuddi shuningdek, 

z

0

+



z 

nuqta 

z

0

 ga 

Oy 

ga parallel holda intiltirsak 



x

=0, 



z

=

i



y 

bo’ladi va (2) dan ushbu kelib chiqadi (56.10 b-rasm) 

f  

(

z

0 

) 



lim 



w 





lim 



u 



 

i



v 







 



v 

lim 







u 



 



v 



 

i 



 









 

i 



u



 



z



0 



z 



y



0 

i



y 



y



0 



 



y 



y 



 



y 



y 

f 

/ 

(

z 

) 



 



v 



 

i 



u 

 

 

(56.13) 

0 



y 



y 

(56.12) va (56.13) lardan ushbu tenglamalarni hosil qilish mumkin 



u 



 

i 



v 



 



v 



 

i 



u 



 



u 



 



v 

; 



v 



 



 



u 

(56.14) 



x 



x 



y 



y 



x 



y 



x 



y 

0 

---

14 

 

(56.14)-ga Кoshi-Riman shartlari deyiladi. 

Teorema. 

f

(

z

) funksiya 

z

0

 nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi uchun 

u

(

x

, 

y

), 

v

(

x

, 

y

)  funksiyalar  z

0

  da  differensiallanuvchi  va  Кoshi-Riman  shartlarining 

bajarilishi uchun zarur va yetarlidir. 

9-

 

misol. 

w

=(

x

2

-

y

2

)+2

xyi 

hosilaga egaligi yoki ega emasligini toping. 

Yechish: 



u 



 2

x

, 



x 



u 



 



2 

y

; 



y 



v 



 2 

y

, 



x 



v 



 2

x 



y 

Кoshi-Riman shartlarini 



u 



 



v 

; 



u 



 



 



v 

 

 

 

 

tekshiramiz 



x 



y 



y 



x 

2

x

=2

x

; -2

y

=-(2

y

). 

Demak, bu funksiya hosilaga ega. 

f 

/

(

z

)= 

w

/

= 



u 



 

i 



v 

=2

x

+

i

2

y

=2(

x

+

iy

)=2

z 

yoki 

 

 



x 



x 

f

(

z

)=(

x

2

-

y

2

)+

i

2

xy

=(

x

+

iy

)

2

=

z

2

 

f 





z



 



 



z 

2

 





 



 2

z 

10-

 

misol. 

w

=

y

+

ix 

hosilaga ega ekanligini tekshiring. 

Yechish: 

u

=

y

, 

v

=

x

, 



u 

=0, 



x 



u 

=1, 



y 



v 

=1, 



x 



v 

=0. 



y 



u 

= 



v 

=0 

 

 

 



u 



- 



v 

 

 

(1



-1) bitta shart bajarilmagani uchun bu funksiya hosilaga 



x 



y 



y 



x 

ega emas. 

Biz  ko’rdikki,  agar  funksiyaning  nuqtadagi  hosilasini  topish  kerak  bo’lsa, 

quyidagi 4 ta formulaning biridan foydalanish mumkin. 

f 

/

 (

z

) 



 



u 



 

i 



v 

, 

f 

/

 (

z

) 



 



v 



 

i 



u

 

 

 

 

 



x 



x 



y 



y 

f 

/

 (

z

) 



 



v 



 

i 



v 

, 

f 

/ 

(

z

) 



 



u 



 

i 



u 

, 

(56.15) 



y 



x 



x 



y 

Lekin 

f

(

z

) funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo’lsa, bu 

formulalardan  foydalanish  noqulay  bo’ladi. 

f

(

z

)  ning  hosilasiga  matematik 

analizdagi  haqiqiy  o’zgaruvchili  funksiyaning  hosilasi  qoidalarini  qo’llash 

mumkin, ya’ni: 

1. 

c

/

=0  2) 

z

/

=1  3) [

f

1

(

z

) 



 

f

2

(

z

)]

/

 =

f 

/

 

(

z

)



f 

/

 

(

z

) 

1 

2 

4) [

cf

(

z

)]

/

=

cf 

/

(

z

)  5) [

f

(

n

)

(

z

)

/

=

nf 

n

-1

(

z

)



f 

/

(

z

) 

12-

 

ta’rif. 

Agar 

f

(

z

) funksiya 

E 

sohaning 

z

0

 nuqtasida va uning atrofida ham 

differensiallanuvchi bo’lsa, u funksiya shu nuqtada analitik deyiladi. 

13-

 

ta’rif

.  Agar 

f

(

z

)  funksiya 

E 

sohaning  barcha  nuqtalarida  hosilaga  ega 

bo’lsa, u funksiya 

E 

da analitik deyiladi.