Kompleks sonlarning moduli va argumenti. Kompleks sonlar ustida amalllar. Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakli. Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish. Kompleks o’zgaruvchili funksiya, ularning aniqlanish sohasi

1-

 

ta’rif.   

Кompleks son deb 

x+iy 

ko’rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda 

x 

va 

y 

-  haqiqiy  sonlar, 

i 

-  mavhum  birlik; 

i

= 



  1 

kompleks  sonlarni 

z 

harfi  bilan 

belgilaymiz,  ya’ni 

z=x+iy,  x 

-  kompleks  sonning  haqiqiy  qismi, 

i



y 

-  kompleks 

sonning  mavhum  qismi, 

y 

-  mavhum  qismining  koeffitsienti  deyiladi. 

x 

va 

y 

lar 

quyidagicha belgilanadi:  

x

=

Re z

, 

y

=

Im z

. 

2-

 

ta’rif. 

Agar 

x

1

=

x

2

, 

y

1

=

y

2

  bo’lsa, 

z

1

=

x

1

+

iy

1

, 

z

2

=

x

2

+

iy

2

  -  ikki  kompleks  son 

o’zaro teng, ya’ni 

z

1

=

z

2

 deyiladi. 

3-

 

ta’rif. 

z=x+iy 

va 

z 

=x-iy 

kompleks  sonlar  qo’shma  kompleks  sonlar 

deyiladi. 

Кompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik formasini ko’ramiz. 

To’g’ri  burchakli  Dekart  koordinatalar  sistemasidagi  har  bir  (

x

, 

y

)  nuqtaga  bitta 

x+iy 

kompleks sonni mos keltiraylik. Umuman shu usulda har bir kompleks songa 

tekislikda  bitta  nuqta  mos  keladi  va  aksincha  tekislikdagi  har  bir  nuqtaga  bitta 

kompleks  son  mos  keladi.  Abssissa  o’qi  haqiqiy  sonlarning  geometrik  o’rni, 

ordinata  o’qi  mavhum 

iy 

sonlarning  geometrik  o’rni  bo’ladi.  Shuning  uchun 

abssissalar  o’qi  haqiqiy  o’q,  ordinatalar  o’qi  mavhum  o’q  deyiladi.  Shunday 

tekislik z kompleks tekisligi deyiladi. 

---

6 

 

 

 

55.1-rasm. 

y 

z 



 x   

M

(

x

,

y

) 

(

x

+

iy

) 

y 

M

’

 

N

(

x

,

-y

) 

(

x-iy

) 

x 

o 

---

7 

 

x

2

 



 

y 

2

 

2 

x 

2

 



 

y 

2

 

Tekislikning  har  bir  (

x

, 

y

)  nuqtasiga  koordinatalar  boshidan  chiqqan,  oxiri 

shu  nuqtada  bo’lgan  vektorni  mos  keltirish  mumkin.  Shuningdek,  har  bir 

x

+

iy 



kompleks songa koordinatalar 

x 

va 

y 

bo’lgan 

ОМ 

vektor mos keltiriladi. 

55.1-rasmga asosan: 

r 



 

x

2

 



 

y 

2

 , 

tg



 



 

y 

, 

x 

y 

arctg 

, 

x 

x 



 

r 

cos



, 

y 



 

r 

sin



 

. 

Unda 

z

=

x

+

iy

=

r

cos



+

ir

sin



=

r

(cos



+

i

sin



), yoki 

z

=

r

(cos



+

i

sin



) 

(55.1) 

bunda 

r

-kompleks sonning moduli, ya’ni 

r

=



z



, 



-uning argumenti 



=Arg

z

. (Agar 

-





z





 

bo’lsa,  unda  Arg

z

=arg

z 

bo’ladi  arg

z

-bosh  argument  deyiladi.)  (55.1) 

formula - kompleks sonning trigonometrik formasi deyiladi.Agar Eyler formulasini 

e

i



=cos



+

i

sin



 

e’tiborga olsak, unda 

z

=

re

i



 

(55.2) 

(55.2) kompleks sonning ko’rsatkichli formasi deyiladi. 

1-

 

misol. 

z

=1+

i 

trigonometrik formaga keltiring. 

Yechish: 

x

=1, 

y

=1, 

r 



 



Demak, 

z 



 



 







 

tg



=1 



 



=



/4. 

 



 



2



cos 

4 



 

i 

sin 

4 



 . 



 



2-

 

misol. 

z

=-1 son trigonometrik formaga keltirilsin. 

 

Yechish: 

x

=-1, 

y

=0, 

r 



 



 1

, tg



=0, 



=



, 

z

=cos



+

i

sin



. 

 

Kompleks sonlar ustidagi amallar. 

1)

 

Qo’shish va ayirish. 

z

1

=

x

1

+

iy

1

 

z

2

=

x

2

+

iy

2

 

z

1



z

2

=(

x

1

+

iy

1

)



(

x

2

+

iy

2

)=(

x

1



x

2

)+

i

(

y

1



y

2

). 

(55.3) 

Demak,  kompleks  sonlar  qo’shilganda  (ayrilganda)  ularning  haqiqiy 

qismlari alohida va mavhum qismlari alohida qo’shiladi (ayriladi). 

Kompleks  sonlarni  qo’shish  va  ayirish  vektorlar  qo’shilishi  va  ayrilishiga 

mos bo’ladi. (55.2- rasmga qarang) 

1

2

 



 1

2

 



 



---

8 

 

z 

z

1

 

z

1

 

+z

2

 

 

 

 

z

2

 

z

1

-z

2

 

 

 

 

 

|

z

2

-

z

1

|= 

55.2-rasm. 

 

demak, ikkita nuqta orasidagi masofaga teng. 

|

z

2

-z

1

| - kompleks sonlar ayirmasining moduli. 

2)

 

Ko’paytirish va bo’lish. 

z

1

=

x

1

+

iy

1,

 

z

2

=

x

2

+

iy

2

 

a) 

z

1



z

2

=(

x

1

+

iy

1

) (

x

2

+

iy

2

)=(

x

1

x

2

-

y

1

y

2

)+

i

(

x

1

y

2

+

x

2

y

1

). 

Agar kompleks sonlarni trigonometrik formada olsak, unda 

z

1



z

2

=

r

1

(cos



1

+

i

sin



1

)



r

2

(cos



2

+

i

sin



2

)= 

=r

1

r

2

[(cos



1

cos



2

--sin



1

sin



2

)+

i

(sin



1

cos



2

+cos



1

sin



2

)]= 

=

r

1

r

2

[(cos(



1

+



2

)+

i

sin(



1

+



2

)], 

yoki   

z

1



z

2

=

r

1

r

2

[(cos(



1

+



2

)+

i

sin(



1

+



2

)] 

 

 

(55.4) 

Demak,  kompleks  sonlarni  ko’paytirishda  modullari  ko’paytiriladi, 

argumentlari esa qo’shiladi. 

z  



 

r e

i



1 

, 

z 



 

r e

i



2  

, 

z  



 

z 



 

r r e

i



1   



 

e

i



2

 



 

r r  e

i





1



 





2

 



1 

1 

2 

2 

1 

2 

1  2 

1  2 

b) 

z

1  



2 

x

1 



 

iy

1 

x

2 



 

iy

2 



 

(

x

1 



 

iy

1 

)(

x

2 



 

iy

2 

) 





(

x

2 



 

iy

2 

)(

x

2  



 

iy

2 

) 



 

(

x

1 

x

2 



 

y

1 

y

2 

) 



 

i

(

x

2 

y

1 



 

x

1 

y

2 

) 



x 

2

 



 

y 

2

 

x

1 

x

2 



 

y

1 

y

2 

x 

2

 



 

y 

2

 



 

i 

x

2 

y

1 



 

x

1 

y

2



x 

2

 



 

y 

2

 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

Agar z

1

 va z

2

 trigonometrik formada berilgan bo’lsa, unda 

z

1 









r

1

e

i



1

 



 

r

1 

e

i

(



1

 





 

2

 

) 







r

1 

[cos(



 



 



 









 



 



z

2 

r

2 

e

i



 

2

 

r

2

 

r

2 

1

 

2 

) 

i 

sin( 

1 

2 

)] 

yoki 

z

1 



 

r

1 

z

2 

r

2 



 [cos(



1 



 



 

2 

) 



 

i 

sin(



1 



 



 

2 

)] 

(55.5) 

Demak, kompleks sonlarni bo’lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari 

bo’linadi.