O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
5.66.
 Funksiyalàrning hîsilàsini tîping:
1) 
2
x
y
=
;
2) 
4
x
x
y
=
;
3) 
y
x
x
= ⋅
10
;
4) 
cos
x
y
e
x
=
;
5) 
cos
x
x
e
y
=
;
6) 
1 10
1 10
x
x
y
−
+
=
;
7) 
2
1
x
e
x
y
+
=
;
8) 
sin(2 )
x
y
=
.
5.67.
 Funksiyalàrning hîsilàsini tîping:
1) 
3
log
y
x
=
;
2) 
2
ln
y
x
=
;
       3) 
lg
y
x
x
=
;
4) 
2
1
log
x
x
y
−
=
;
5) 
sin ln
y
x
x
x
=
;
       6) 
1
ln
x
y
=
;
7) 
1 ln
1 ln
x
x
y
−
+
=
;
8) 
ln sin
y
x
=
.
5.68.
 Funksiyalàrning hîsilàsini tîping:
1) 
2
(
4)
3
x
x
y
+
+
=
;
2) 
2
2
(1
)
x
x
y
−
=
;
3) 
1
1
2
x
x
y
+
+
=
;
4) 
3
3
1
2
1
2
x
x
y
−
+
=
;
5) 
2
1
y
x
=
−
;
6) 
( )
1
m
x
x
y
−
=
;
7) 
3
2
1
1
x
y
+
=
;
8) 
1
1
x
x
y
+
−
=
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

209
3-§. Hîsilàning tàtbiqi
1. Funksiyaning ekstråmumlàrini àniqlàsh.
 Àgàr [
à
; 
b
] kåsmàdà
f
(
x
)  funksiya  o‘suvchi  bo‘lsà  (V.5-ràsm)  shu  kåsmàgà  tågishli
iõtiyoriy 
õ
 
=
 
õ
1
 àbssissàli nuqtàdà 
f
(
x
) gràfigigà o‘tkàzilgàn urinmà
ÎX
 o‘qining musbàt yo‘nàlishi bilàn 
ϕ
 o‘tkir burchàk tàshkil etàdi.
O‘tkir burchàk tàngånsi esà musbàt, tg
ϕ > 
0, bundàn 
k 
= 
f
′
(
x
1
) 
>
 0
ni àniqlàymiz.
Shu  kàbi  [
d
; 
e
]  dà 
f
  funksiya  kàmàyuvchi  bo‘lsà, 
ϕ
  o‘tmàs
burchàk và 
k 
= 
tg
ϕ = 
f
′
(
x
)
 
<
 
0 bo‘làdi.
f
 funksiya o‘suvchi, ya’ni 
õ
1
 
<
 
x
1
 
+
 
h
 bo‘lgàndà 
f
(
x
1
)
 
<
 
f
(
x
1
 
+
 
h
)
bo‘lib,  àrgumåntning 
∆
õ 
=
 
(
õ
1
 
+
 
h
)
 
−
 
x
1
 
=
 
h 
îrttirmàsi  và
funksiyaning  ungà  mîs 
∆
y
 
=
 
f
(
x
1
 
+
 
h
)
 
−
 
f
(
x
1
)  îrttirmàsi  bir  õil
ishîràli, funksiya kàmàyuvchi bo‘lgàndà esà qàràmà-qàrshi ishîràli
bo‘làdi.
1 - t å î r å m à .  
Àgàr
 
õ
1
 
nuqtàdà
 
f
 
funksiyaning hîsilàsi
 
f
′
(
x
1
)
 >
>
0 
bo‘lsà, shu nuqtà yaqinidà àrgumåntning
 
∆
õ
 = 
h
 
và funksiyaning
∆
y 
= 
f
(
x
0
  + 
h
)
  − 
f 
(
x
0
) 
îrttirmàlàri  bir  õil  ishîràli,
 
f
′
(
x
1
)
  < 
0
bo‘lgàndà bu îrttirmàlàr qàràmà-qàrshi ishîràli bo‘làdi.
I s b î t .  Shàrtgà ko‘rà 
õ
0
 nuqtàdà 
f 
′
 hîsilà màvjud. U hîldà
õ 
= 
õ
0
 dàn 
õ
 = 
õ
0
 + 
h
 gà o‘tishdàgi funksiya îrttirmàsini
∆
f 
= 
f
(
x
1
 + 
h
)
 − 
f
(
x
1
)
 = 
(
f
′
(
x
1
)
 + α
)
⋅
h
ko‘pàytmà ko‘rinishidà yozish mumkin. 
α
 funksiya 
h
→
0 dà chåksiz
kichik, 
0
lim
0
h
→
α =
. Shungà ko‘rà 
h
→
0 dà 
f
′
 và 
f
′ + α
 làr 
õ
1
 nuqtà
14 Algebra, II qism
Y
O x
0
 a x
1
 
b x
2
 
    x
3
  d   e  X
f 
′ = 
0
f 
′> 
0
f
 
(
x
)
f
  ′< 
0
Y
O
         
a
         
b 
              
c
     
d 
      
X
A
B
C
ϕ
f 
′> 
0
f 
′< 
0
f 
′< 
0
f 
′< 
0
f 
′
(
b
) 
=
 
−∞
y 
′
(
c 
− 
h
)
>
0
y 
′
(
c
 + 
h
)
f 
′> 
0
f 
′< 
0
                   V.5-rasm.                                        V.6-rasm.
f 
′ = 
0
f 
′ = 
0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

210
yaqinidà  bir  õil  ishîràgà  egà  bo‘làdi.  Dåmàk,  ikki  hîl  bo‘lishi
mumkin:
1)  yo 
f
′  > 
0,  u  hîldà  ko‘pàytmàdàgi 
∆
f
  và 
h
  îrttirmàlàr  bir  õil
ishîràli;
2) yoki 
f
′ < 
0, bu hîldà 
∆
f
và 
h
 îrttirmàlàr hàr õil ishîràli. Isbît
bo‘ldi.
õ
0
 nuqtàning (V.5-ràsm) chàp yaqinidà 
f
′
(
x
0
 − 
h
)
 < 
0, o‘zidà
f
′
(
x
0
)
 = 
0 (chunki (
õ
1
,
 f
(
x
1
)) nuqtàdàn o‘tuvchi urinmà 
OX 
o‘qigà
pàràllål, 
ϕ = 
0, tg
ϕ = 
0), o‘ng yaqinidà 
f 
′
(
x
0
 + 
h
) 
> 
0. Shu bilàn
birgà 
f
  ning 
x
0
  nuqtà  àtrîfidàgi  qiymàtlàri 
õ
0
  dàgi  qiymàtidàn
kichik  emàs,
  f
(
x
0
 + 
h
)
 ≥ 
f
(
x
0
),  ya’ni 
f 
(
x
)  funksiya 
õ
0
  nuqtàdà
minimum
gà erishàdi. Àksinchà, 
f
(
x
3
 ± 
h
)
 ≤ 
f
(
x
3
), ya’ni funksiya 
õ
3
nuqtàdà 
màksimum
gà erishàdi. Ìàksimum và minimum nuqtàlàrini
birgàlikdà funksiyaning 
ekstråmum
 
nuqtàlàri 
dåb àtàlàdi.
Shundày qilib, funksiyaning nuqtàdà ekstråmumgà (ekstråmàl
qiymàtgà) egà bo‘lishi uning shu nuqtàdà và uning àtrîfidà qàndày
qiymàt qàbul qilishigà bîg‘liq. Ekstråmum nuqtàsidà 
f
′ = 
0 bo‘lib,
undà 
f
 gràfigigà urinmà 
OX
 o‘qigà pàràllål bo‘làdi. Låkin hîsilà
màvjud bo‘lmàgàn (funksiya diffårånsiàllànmàydigàn) nuqtàlàrdà
hàm funksiya ekstråmumgà egà bo‘lishi mumkin. V.6-ràsmdà 
À
màksimum nuqtàsidàn o‘tgàn urinmà 
OY
 o‘qigà pàràllål (
ϕ = 
90
°
),
f 
′
(
x 
= 
a
)
 
= 
tg90
°
 
= ∞
. Chizmàdàgi 
C
 màksimum nuqtàsidàn esà
bittàdàn îrtiq (chizmàdà ikkità) urinmà o‘tàyotgànligidàn bu hîldà
hàm hîsilà màvjud emàs.
2 - t å î r å m à .  
f
 
funksiyaning  hîsilàsi
 
õ
0
 
ekstråmum  nuqtàdà
yo nîlgà tång, yoki màvjud emàs.
I s b î t .  Òo‘rt hîl bo‘lishi mumkin: 1) 
f
′
(
x
0
)
 
> 
0; 2) 
f
′
(
x
0
)
 
< 
0;
3) 
f
′
(
x
0
)
 
= 
0; 4) 
f
′
(
x
0
) hîsilà màvjud emàs.
Àgàr 
f 
′
(
x
0
)
 
> 
0 bo‘lsà, 1-tåîråmàgà muvîfiq 
õ
0
 nuqtà yaqinidà
∆
f
  và 
∆
õ
 îrttirmàlàr bir õil ishîràgà egà bo‘làdi:
[
x
0
 
− 
h
; 
x
0
] kåsmàdà 
∆
õ
 
= 
õ
0
 
− 
(
õ
0
 
− 
h
)
 
= 
h
 
> 
0 và 
∆
f 
= 
f
(
x
0
)
 
−
− 
f
(
x
0
 
− 
h
)
 
> 
0;
[
x
0
; 
x
0
 
+ 
h
] dà 
∆
õ
 
= 
(
õ
0
 
+ 
h
)
 
− 
x
0
 
= 
h 
> 
0, 
∆
f
 
= 
f
(
x
0
 
+ 
h
)
 
− 
f
(
x
0
)
 
> 
0.
Bungà qàràgàndà 
[
õ
0
 
− 
h
; 
x
0
 
+ 
h
] kåsmàdà 
f
(
x
0
 
− 
h
)
 
< 
f
(
x
)
 
<
<
 f
(
x
0
 
+ 
h
) o‘rinli, ya’ni 
õ
0 
– ekstråmum nuqtàsi emàs.
Shu kàbi, àgàr 
f 
′
(
x
0
)
 
< 
0 bo‘lsà, 
f
funksiya 
õ
0
 nuqtàdà ekstrå-
mumgà egà bo‘lmàsligi isbîtlànàdi. Dåmàk, 
f
′
(
x
)
 
= 
0 bo‘làdigàn
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

211
yoki 
f
′
(
x
)  màvjud  bo‘lmàgàn  nuqtàlàr  ekstråmum  nuqtàlàri
bo‘lishi mumkin.
Bu tåîråmà ekstråmumlikkà «shubhàli» nuqtàlàrni àniqlàshgà
imkîn båràdi. Ulàr îràsidàn hàqiqàtàn hàm ekstråmum nuqtàlàri
àjràtib îlinishi kåràk. Ìàsàlàn, 
f 
(
x
)
 
= 
(
x 
− 
2)
3
 funksiyaning hîsilàsi
f 
′
(
x
)
 
= 
3(
x 
− 
2)
2
 và o‘zi 
õ
 
= 
2 dà nîlgà àylànàdi. Låkin bu nuqtà
ekstråmum nuqtàsi emàs. Chunki 
õ
 
= 
2 dàn chàpdà (
õ
 
− 
2)
3
 funksiya
mànfiy, o‘ngdà musbàt, ya’ni funksiya gràfigi bu nuqtàdà burilàdi.
V.6-ràsmdà funksiya 
B
 nuqtàdà bukilàdi, 
õ 
= 
d
 dà uzilàdi, uning
chàp và o‘ng tîmînlàridà hîsilà màvjud và turli ishîràlàrgà egà,
nuqtàning o‘zidà ekstråmumgà egà emàs. V.5-ràsmdà gàrchi 
õ
2
nuqtàdà
  f 
′
 
= 
0  bo‘lsà-dà,  bu  nuqtàdà  ekstråmum  yo‘q,  gràfik
bukilishgà egà.
1 - m i s î l .  
y 
= 
õ
3
 
− 
õ
2 
− 
õ
funksiyaning  màksimum  và
minimumini tîpàmiz.
Y e c h i s h .   Ekstråmumgà 
„
shubhàli“  nuqtàlàrni  tîpàmiz.
Buning uchun 
y
′
 
= 
0 tånglàmàni yechàmiz. 
y
′ =
3
x
2
 
− 
2
x 
− 
1
 
= 
0
tånglàmàning  ildizlàri 
−
1
3
  và  1.  Funksiyaning 
1
3
x
= −
  nuqtà
àtrîfidàgi hîlàtini tåkshiràmiz:
1
3
x
< −
 dà
1
3
x
= −
 dà
1
3
x
> −
 dà
y
′
 
> 
0
y
′ = 
0
y
′
 
< 
0
Bu  nuqtàdà 
y
′
  ning  ishîràsi  «
+
»  dàn  «
−
»  gà  o‘zgàrmîqdà.
Dåmàk, funksiya 
1
3
x
= −
 dà màksimumgà erishàdi, funksiyaning
bu qiymàtini tîpish uchun 
1
3
x
= −
 ni funksiya ifîdàsigà qo‘yamiz:
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1
1
1
1
5
3
3
3
3
27
f
−
= −
− −
− −
=
.
x 
= 
1 nuqtà hàm shu kàbi tåkshirilàdi:
x
 
< 
1 dà
x
 
= 
1 dà
x
 
> 
1 dà
y
′
 
< 
0
y
′
 
= 
1
y
′
 
> 
0
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

212
Funksiya 
õ
 
= 
1  dà  minimumgà  erishàdi.  Uni  hisîblàymiz:
f
(1)
 
= 
1
3 
− 
1
2
 
− 
1
 
= −
1. Shundày qilib, 
(
)
1
5
3
27
;  
−
 – funksiyaning
màksimum nuqtàsi, (1; 
−
1) – minimum nuqtàsi.
2 - m i s î l .  
3
2
x
 funksiya ekstråmumgà egà bo‘lishi mumkin
bo‘lgàn nuqtàlàrni àniqlàymiz và ekstråmumlàrni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
2
2 1
3
2
3
3
3
2
2
3
3
(
)
( )
x
y
x
x
x
D y
−
′


′
′
′
=
= 
 =
=
⇒
=




\ {0}
R
=
.
Bàrchà 
õ
 
≠ 
0 nuqtàlàrdà 
y
′
 
≠ 
0. Dåmàk, 
õ
 
≠ 
0 dà hîsilà màvjud,
låkin u nîlgà tång emàs, funksiya ekstråmumgà erishmàydi.
õ 
= 
0 dà esà hîsilàning tà’rifi bo‘yichà:
3 2
3
0
0
0
( )
(0)
1
(0) lim
lim
lim
h
h
h
f h
f
h
h
h
h
f
→
→
→
−
′
=
=
=
= ∞
.
Hîsilàning 
õ 
= 
0  nuqtà  àtrîfidàgi  ishîràlàrini  àniqlàymiz:
hîsilàning ishîràsi mànfiy, 
∞
 îrqàli musbàtgà o‘zgàrmîqdà. 
õ 
= 
0
nuqtàdà  funksiya  hîsilàsi  màvjud  emàs,  låkin  undà  funksiya
minimumgà  erishàdi  (V.7-ràsm).  Uni  tîpàmiz: 
3 2
0
0
y
=
=
.
Shundày qilib, (0; 0) – minimum nuqtàsi, undà funksiya gràfigi
sinàdi.
 x
 
< 
0 dà
  x
 
= 
0 dà
     x
 
> 
0 dà
y
′
 
< 
0
∞
        y
′
 
> 
0
V.7-rasm.
Y
       a        O     b             X
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

213