O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
4.27.
 Hisîblàng:
1) 
0
sin 3
3
lim
x
x
x
®
;
                       2) 
0
sin 6
4
lim
x
x
x
®
;
3) 
0
tg 4
3
lim
x
x
x
®
;                                   4) 
0
sin 5
sin 6
lim
x
x
x
®
;
5) 
0
tg8
tg7
lim
x
x
x
®
;
                       6) 
0
lim ctg6
x
x
x
®
.
4.28.
 Limitlàrni hisîblàng:
1) 
0
sin 13
13
lim
x
x
x
®
;
                       2) 
0
sin 3
sin 6
lim
x
x
x
®
;
3) 
0
sin16
12
lim
x
x
x
®
;                                 4) 
0
tg5
tg6
lim
x
x
x
®
;
5) 
0
tg8
7
lim
x
x
x
®
;
                       6) 
0
lim ctg3
x
x
x
®
.
4.29.
 Limitlàrni hisîblàng:
1) 
0
tg3
sin 3
lim
x
x
x
®
;
                       2) 
0
sin 4
2 cos 3
lim
x
x
x
x
®
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

176
3) 
2
0
tg3
sin 2
lim
x
x
x
x
®
;
                      4) 
2
0
sin 5 tg3
lim
x
x
x
x
®
;
5) 
0
3 cos 5
sin3
lim
x
x
x
x
®
;                       6) 
2
0
2 tg 4
sin 6
lim
x
x
x
x
®
;
7) 
2
0
1 cos
5
lim
x
x
x
®
-
;
                       8) 
0
arcsin 3
5
lim
x
x
x
®
;
9) 
0
1 cos 2
lim
x
x
x
®
-
;                        10) 
0
5
arctg
lim
x
x
x
®
;
11) 
3
2
0
cos
cos
lim
x
x
x
x
®
-
;                  12) 
2
0
ctg
sin3
lim
x
x
x
x
®
;
13) 
0
1 cos 6
1 cos 2
lim
x
x
x
®
-
-
;                       14) 
0
1 cos 4
2 tg 2
lim
x
x
x
x
®
-
×
;
15) 
0
lim 5
ctg3
x
x
x
®
×
;                      16) 
2
0
sin 6 tg 2
lim
x
x
x
x
®
;
17) 
1
2
lim(1
)tg
x
x
x
®
p
-
;                    18) 
( )
( )
4
sin
4
3
sin
4
lim
x
x
x
p
®
p-
p+
;
19) 
lim sin 2 ctg
x
x
x
®p
;                     20) 
( )
2
sin
2
2
lim
x
x
x
p
®
p -
p
-
.
4.30.
 Limitlàrni hisîblàng:
1) 
1
0
lim (1 3 )
x
x
x
®
+
;
2) 
1
8
0
lim (1 7 )
x
x
x
-
®
+
;
3) 
0
ln(1 4 )
lim
x
x
x
®
+
;
4) 
0
ln(1 9 )
7
lim
x
x
x
®
+
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

177
V  B Î B
HÎSILÀ
1-§. Funksiyaning hîsilàsi và
diffårånsiàli
1. Funksiya îrttirmàsi.
 Biz funksiyalàr qiymàtlàri jàdvàllàrini
tuzish  jàràyonidà  funksiyaning 
∆
f
(
x
)
  =
 
f
(
x
i
+
1
)
  −
 
f
(
x
i
)  chåkli
àyirmàsi bilàn tànishgànmiz. Undà funksiya àrgumåntning diskråt
qiymàtlàridà qàràldi, funksiya o‘zining bir 
f
(
x
0
) qiymàtidàn ikkinchi
f
(
x
0
 +
 
∆
x
) qiymàtigà sàkràb o‘tgàndåk bo‘làdi, bundà 
∆
õ
 =
 
h
 –
jàdvàl qàdàmi. Endi biz àrgumåntning uzluksiz o‘zgàrishigà bîg‘liq
màsàlàlàrgà o‘tàmiz.
Òo‘g‘ri chiziqli hàràkàt qilàyotgàn nuqtàning 
õ
 vàqt mîmåntidàgi
kîîrdinàtàsi (o‘tilgàn màsîfà) 
f
(
x
) bo‘lsin. Nuqtà 
∆
õ
 =
 
b
 −
 
a
 vàqt
îràlig‘idà    |
∆
f
(
a
)|
 =
 
|
f
(
b
)
 −
 
f
(
a
)|    qàdàr  ko‘chàdi.  Àgàr  bundà
∆
f
 
>
 
0 bo‘lsà, ko‘chish musbàt yo‘nàlishdà, 
∆
f
 <
 
0 bo‘lsà, ko‘chish
mànfiy yo‘nàlishdà bàjàrilgàn bo‘làdi.
õ
0
 =
 
à
 dàn 
õ
 gà ko‘chishdàgi 
∆
õ
 =
 
h
 =
 
x
 −
 
a
 àyirmà 
àrgumåntning
à
  nuqtàdàgi 
îrttirmàsi, 
∆
f
(
a
)
 =
 
f
(
x
)
 −
 
f
(
a
)  àyirmà 
funksiyaning
shu nuqtàdàgi 
îrttirmàsi 
dåyilàdi.
1 - m i s î l .   Àrgumåntning  bîshlàng‘ich  qiymàti 
à 
=
 
5,
îrttirmàsi 
h 
=
 
0,1. 
f 
(
x
) 
=
 
x
2
 funksiya îrttirmàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  Àrgumånt 
à
 =
 
5 dàn 
h 
=
 
0,1 gà îrtgàn: 
a 
+
 
h 
=
 
5,1.
U hîldà 
∆
f
(5)
 =
 
f
(5,1)
 −
 
f
(5)
 =
 
5,1
2
 −
 
5
2
 =
 
1,01.
2 - m i s î l .  Àrgumånt îrttirmàsi 
h
 gà tång. 
f 
(
x
)
 
=
 
kx 
+
 
l
 chiziqli
funksiya îrttirmàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .
f
(
a 
+
 
h
)
 
=
 
k
(
a 
+
 
h
)
 
+
 
l
;
∆
f
(
a
)
 
=
 
f
(
a 
+
 
h
)
 
−
 
f
(
a
)
 
= 
k
(
a 
+
 
h
)
 
+
 
l 
−
 
ka 
−
 
l 
=
 
kh
.
3 - m i s î l .  Êubning tîmîni 
à
 gà tång. Àgàr tîmînlàr 
h
 qàdàr
îrttirilsà, uning hàjmi qàndày o‘zgàràdi?
Y e c h i s h .  Òîmînlàr 
h
 gà îrttirilgàndàn so‘ng uning hàjmi
(
à 
+
 h
)
3
 gà tång bo‘làdi. Nàtijàdà kubning hàjmi
12  Àlgebra,  II  qism
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

178
∆
V 
=
 
(
a 
+
 
h
)
3
 
−
 
a
3
 
=
 
3
a
2
h 
+
 
3
ah
2
 
+
 
h
3
gà îrtàdi.
Ì à s h q l à r
5.1.
 
õ 
=
 
à
  dàn 
õ 
=
 
b
  gà  o‘tishdà 
f
funksiya  qàbul  qilàdigàn
îrttirmàning fizik, gåîmåtrik mà’nîsini tushuntiring, bårilgàn sînli
mà’lumît bo‘yichà îrttirmàni tîping:
1) 
f
(
x
)  –  o‘tkàzgichning  ko‘ndàlàng  kåsimidàn 
õ
  vàqtdà
o‘tàdigàn elåktr miqdîri (
a 
=
 
4 s, 
b 
=
 
7 s, 
f 
(
x
)
 
=
 
5
x
 Êl, Êulîn);
2) 
f
(
x
) – to‘g‘ri chiziqli hàràkàt qilàyotgàn jismning 
õ
 vàqt
ichidà o‘tgàn yo‘li (
à 
=
 
0, 
b 
=
 
2 s, 
f
(
x
)
 
=
 
x
2
 
+
 
18
x
 m);
3) 
f
(
x
) – bir jinsli bo‘lmàgàn stårjånning bir uchidàn bîshlàb
õ
 uzunlikdàgi qismining màssàsi (
a 
=
 
0, 
b 
=
 
0,35 m, 
f
(
x
)
 
=
 
2
x
2
 
+
+
 
3
x
 kg).
5.2.
 Êubning qirràsi 1 sm (5 sm; 10 sm). Àgàr qirrà 1 sm gà,
0,5 sm gà, 0,2 sm gà îrttirilsà, kubning hàjmi qànchàgà îrtàdi ?
5.3.
 
[
a
; 
b
]
 kåsmàdà 
∆
f
(
x
) îrttirmà và 
∆
õ
 îrttirmàning ishîràlàri
bir  õil.  Shu  kåsmàdà  funksiya  o‘suvchimi  (kàmàyuvchimi)?
Ishîràlàr  hàr  õil  bo‘lsà-chi?
5.4.
 Funksiyaning 
à
 nuqtàdàgi îrttirmàsini tîping:
1) 
f
(
x
)
 
=
 
2
x 
2
 
−
 
x
, 
a 
=
 
4, 
h 
=
 
0,1;
2) 
f
(
x
)
 
= −
4
 
+
 
3
x 
+
 
x 
2
, 
a 
= −
2, 
h 
=
 
0,01;
3) 
f
(
x
)
 
=
 
x 
−
 
2
x 
3
, 
a 
=
 
1, 
h 
= −
0,2.
5.5.
 Funksiya àrgumånti 
h
 îrttirmàni qàbul qilib, 
õ 
= 
b
 qiymàtgà
erishgàn. 
f
 funksiya îrttirmàsini tîping, bundà:
1) 
f x
x
( )
=
−
1
, 
h 
= 
1,65, 
b 
= 
9,41;
2) 
f x
x
( )
=
+
1
, 
h 
= 
2,65, 
b 
= 
7,41.
5.6.
 Dîirà ràdiusi 
R 
= 
6 sm, u 
h
 sm gà uzàytirilsà, dîiràning
yuzi qànchàgà o‘zgàràdi? Bundà: 1) 
h 
= 
0,3 sm; 2) 
h 
= −
0,3 sm.
Chizmàdà tàsvirlàng.
2. Funksiya hîsilàsi.
 
y 
= 
x
2
 funksiya gràfigining (1; 1) nuqtà
yaqinidàgi hîlàtini kuzàtàylik. V.1-
à 
ràsmdà pàràbîlàning 
h 
= 
2
uzunlikdàgi 
[
0; 2
]
 kåsmà ustidàgi qismi tàsvirlàngàn. Chiziq o‘z
egriligi bilàn shu nuqtàdàn o‘tuvchi 
y 
= 
kx 
+ 
l
 urinuvchi to‘g‘ri
chiziqdàn kåskin fàrq qilàdi. Shu nuqtà àtrîfini kàttàrîq tàsvirlàylik
(V.1-
b 
ràsm). Pàràbîlàning nisbàtàn kichik 
h 
= 
0,2 uzunlikkà egà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

179
bo‘lgàn 
[
0,9; 1,1
]
 kåsmàdàgi qismi unchà egri emàs. 
∆
õ 
= 
h
 ning
yanàdà kichik qiymàtlàridà pàràbîlà và to‘g‘ri chiziq kåsmàlàri
dåyarli ustmà-ust tushàdi, ya’ni pàràbîlà (1; 1) nuqtà yaqinidà
«
chiziqli kichik»
 hîlàtidà bo‘làdi. U bîshqà nuqtàlàr yaqinidà hàm
shundày  «chiziqli  kichik»  õîssàsigà  egà  bo‘làdi. 
Fizikà  nuqtàyi
nàzàridàn
 «chiziqli kichiklik» õîssàsi mîs fizik jàràyon dåyarli tåkis,
dåyarli  dîimiy  tåzlik  bilàn  ro‘y  båràyotgànini  ànglàtàdi.
Ìàtåmàtikàdà  «chiziqli  kichik  hîlàtdàgi  funksiya»  tushunchàsi
diffårånsiàllànuvchi
 nîmi bilàn àtàlàdi (lît.: 
differentia –
 àyirmà).
Hîlàtni màtåmàtik jihàtdàn tushuntiràmiz.
Àgàr 
õ 
= 
à
 dàn 
õ 
= 
à 
+ 
h
 gà o‘tishdà 
f 
funksiya îrttirmàsini
∆
f 
= 
f
(
a 
+ 
h
)
 
− 
f
(
a
)
 
= 
(
k 
+ α
)
h
                          (1)
ko‘rinishdà bårish mumkin bo‘lsà, 
f 
 funksiya 
õ 
= 
à 
dà 
diffårånsiàl-
lànuvchi  funksiya 
dåyilàdi,  bundà 
k  – 
sîn, 
α
(
õ
)  funksiya
∆
õ 
= 
h
→
0 dà chåksiz kichik, 
0
lim ( ) 0
h
x
→
α
=
.
Ìàsàlàn, 
f
(
x
) 
= 
kx 
+
 
l
 chiziqli funksiya îrttirmàsi
∆
f
 =
 
f
(
a 
+
 
h
)
 −
 
f
(
a
)
 =
 
k
(
a 
+
 
h
)
 
+
 
l 
−
 
ka 
−
 
l 
=
 
kh
,
ya’ni 
α
(
õ
)
 
=
 
0 bo‘lishini ko‘ràmiz. Dåmàk, chiziqli funksiya 
õ
 ning
bàrchà qiymàtlàridà diffårånsiàllànàdi.
Bîshqà  diffårånsiàllànuvchi  funksiyalàr  uchun 
∆
õ
  và 
∆
f
îrttirmàlàrning fàqàt tàqribiy prîpîrsiînàlligi o‘rinli bo‘làdi:
f
(
a 
+
 
h
)
 
−
 f
(
a
)
 ≈
 
kh
,
bundàgi chåtlànish 
α
(
õ
) gà tång.
Y
y
 = 
x
2
y
 = 
kx
 + 
l
4
2
O
−
2
                   
        2     
X
(1,1; 1,1)
(1; 1)
(0,9; 0,9)
a)
b)
V.1-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

180
1 - m i s î l .  
õ
2
funksiya 
õ
 ning istàlgàn qiymàtidà diffårånsiàl-
lànàdi. Hàqiqàtàn, funksiya 
õ
 dàn 
õ 
+
 
h
 gà o‘tishdà
∆
f 
=
 
(
x 
+
 
h
)
2
 
−
 
x
2
 
=
 
(2
x 
+
 
h
)
h
îrttirmàgà egà, undàgi 2
x
 tà’rif bo‘yichà 
k
 ni, 
h
 esà 
α
 funksiyani
ifîdàlàydi, 
0
lim
0
h
h
→
=
.
(1) tånglikdàn: 
(
)
( )
f x h
f x
h
k
+ −
= + α
, bundà 
h 
=
 
(
õ 
+
 
h
)
 
−
 
x 
=
 
= ∆
x
, 
0
lim ( ) 0
h
x
→
α
=
. Bulàrgà ko‘rà:
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
k
→
+ −
=
                                         (2)
và
(
)
0
0
(
)
( )
lim ( ) lim
0
h
h
f x h
f x
h
x
k
→
→
+ −
α
=
=
=
.
Àksinchà, bu limitli ifîdàdàn (1) tånglikni hîsil qilish mumkin.
Shu tàriqà ushbu tåîråmà isbît qilinàdi.
Ò å î r å m à .  
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
k
→
+ −
=
 
limit màvjud bo‘lgàndàginà
f
(
x
) 
funksiya diffårånsiàllànàdi và uning îrttirmàsi
∆
f
 
=
 
f 
(
x
 
+
 
h
)
 
−
 
f 
(
x
) 
=
  
=
 
(
k 
+
 
α
)
h
bo‘làdi, bundà
 
0
lim ( ) 0
h
x
→
α
=
.
 
∆
f 
=
 
(
k 
+ α
)
h
 tånglik funksiyaning diffårånsiàllànishini õàràk-
tårlàydi. Ìàsàlàn, 
v
 dîimiy tåzlik bilàn to‘g‘ri chiziqli tåkis hàrà-
kàt  qilàyotgàn  jism 
t
  vàqtdà 
s
 
= 
v
t 
+ 
s
0
  màsîfàni  bîsib  o‘tsin,
bundà 
s
0 
– hàràkàt bîshlàngunchà o‘tilgàn màsîfà, 
s
 bîg‘lànish
y 
= 
kx 
+ 
l
 funksiyaning o‘zi, 
k 
= 
v
, 
x 
= 
t
, 
l 
= 
s
0 , 
y 
= 
s
.
 
Ìåõànikà
nuqtàyi nàzàridàn 
k
 sîn 
hàràkàt tåzligi
, gåîmåtrik jihàtdàn to‘g‘ri
chiziqning 
burchàk
 
kîeffitsiyånti 
miqdîrini
 
ifîdàlàydi. 
k
 ning qiymàti
õ
 gà bîg‘liq. Dåmàk, 
k
 sîn birîr funksiyaning õususiy qiymàtidàn
ibîràt. Bu funksiya 
f
(
x
) 
funksiyaning hîsilàsi 
dåb àtàlàdi và 
f 
′
(
x
)
îrqàli bålgilànàdi.
f
′
(
x
) ning 
õ
 nuqtàdàgi qiymàti ushbu fîrmulà bo‘yichà tîpilàdi:
0
0
(
)
( )
( ) lim
lim
h
h
f x h
f x
f
h
h
f x
→
→
+ −
∆
′
=
=
,                     (3)
bundà 
∆
õ
 
=
 
h
 – àrgumånt îrttirmàsi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

181
Shundày qilib, funksiya îrttirmàsi 
f
(
x
 
+
 
h
)
 
−
 
f
(
x
)
 
=
 
(
k 
+ α
)
h
ko‘rinishdà bårilgàn bo‘lsà, 
k
 sîn hîsilàning qiymàtini båràdi.
Jism 
t
 = 
t
0
  bîshlàng‘ich  vàqt  mîmåntidà 
f
(
t
0
)  kîîrdinàtàli
nuqtàdà, 
t
 = 
t
0
 +  ∆
t
  mîmåntdà 
f
(
t
0
 +  ∆
t
)  kîîrdinàtàli  nuqtàdà
bo‘lsin. 
[
t
0
; 
t
0
 + ∆
t
]
 vàqt îràlig‘idà 
∆
f
 = 
f
(
t
0
 + ∆
t
)
 − 
f
(
t
0
) màsîfàni
o‘rtàchà 
o‘rt
( )
f
t
t
∆
∆
=
v
 tåzlik bilàn o‘tàdi, bundà 
∆
t
 = 
(
t
0
 + ∆
t
)
 − 
t
0 
–
o‘tgàn  vàqt.  O‘rtàchà  tåzlikning 
∆
t
→
0  dàgi  limiti,  ya’ni 
f
′
(
t
0
)
hîsilà to‘g‘ri chiziqli hàràkàtning 
t
0
 mîmåntdàgi 
îniy (bir làhzàdàgi)
tåzligi
ni ifîdàlàydi:
oniy
0
0
0
( )
lim
( )
t
f
t
t
f t
∆ →
∆
∆
′
=
=
v
.
Bir jinsli  stårjånning 
õ
  uzunlikdàgi qismining  màssàsi 
f
(
x
)
 =
=
kx
, bundà 
k
 sîn – stårjånning 
chiziqli zichligi.
 Àgàr stårjån bir
jinsli bo‘lmàsà, uning 
h
 uzunlikdàgi 
ÀB
 qismining màssàsi 
f
(
x
0
 +
+
 h
)
 − 
f
(
x
0
) bo‘làdi, bundà 
õ
0
 qiymàt stårjånning 
À
 bîshlàng‘ich
uchining kîîrdinàtàsi. 
ÀB
 qismning o‘rtàchà zichligi:
0
0
o‘rt
0
(
)
(
)
( )
(
)
f x
h
f x
h
k
t
f x
+ −
′
=
=
+ α
,
bundà 
x
0
 nuqtàdàgi 
chiziqli zichlik 
0
o`rt
0
0
(
)
lim
( )
(
)
h
k x
k
t
f x
→
′
=
=
bo‘làdi.
Hàr  qàndày 
l
  dîimiy  sînning  hîsilàsi  nîlgà  tång.  Chunki,
l
 = 
0
 ⋅ 
x
 + 
l 
yozuvi bo‘yichà 
k 
= 
l
′
 
= 
0 ni îlàmiz. Dåmàk, (
kx 
+ 
l
)
′
 
= 
k
.
Låkin (
õ
2
)
′
 
= 
2
õ
 bo‘làdi. Chunki
f
(
x 
+ 
h
)
 
− 
f
(
x
)
 
= 
(
x 
+ 
h
)
2
 
− 
x
2
 
= 
(2
x 
+
+
h
)
h
 bo‘lgànidàn, (
k 
+ α
)
h
 yozuv bo‘yichà 
k 
= 
2
x
 îlinàdi.
[
a
; 
b
]
 yopiq kåsmàning 
à
 nuqtàsidà 
f
funksiyaning o‘ng tîmînli,
b
 nuqtàsidà esà chàp tîmînli diffårånsiàllànish i hàqidà so‘z bîrishi
mumkin:
0
0
(
)
( )
(
)
( )
(
0)
lim
,   (
0)
lim
h
h
f a h
f a
f b h
f b
h
h
f a
f b
→+
→−
+ −
− −
′
′
+
=
−
=
.
2 - m i s î l .   (3)  fîrmulàdàn  fîydàlànib, 
( )
a
x
f x
=
  funksiya
hîsilàsini tîpàmiz, bundà 
à 
– birîr dîimiy sîn, 
∆
õ 
=
 h
, 
∆
y 
= 
f
(
x 
+
+∆
x
)
 − 
f
(
x
), 
x
 
≠ 
0.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

182
Y e c h i s h .
(
)
(
)
a
a
ax ax a x
a x
x
x
x
x x
x
x x
x
y
− − ⋅∆
⋅∆
+∆
+∆
+∆
∆ =
− =
= −
, u hîldà:
( )
(
)
2
0
(
)
lim
x
a
a
a
x
x x
x
x
∆ →
+∆
′
=
−
= −
.
3 - m i s î l .  1) 
y
 = 
õ
; 2) 
y 
= 
x
2
; 3) 
y 
= 
ax
2
 + 
bx 
+ 
c
; 4) 
y 
= 
x
3
funksiyalàrning hîsilàlàrini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  1) 
y 
= 
õ
 = 
1
 ⋅ 
õ
 + 
0, bundàn 
k
 = 
y
′ = 
1, ya’ni 
õ
′ = 
1
bo‘lishini  àniqlàymiz.  Bu  misîldà (3)  kàbi  limit  fîrmulàlàrdàn
fîydàlànishgà hîjàt bo‘lmàdi;
2)  (1)  fîrmulà  bo‘yichà:
∆
y 
= 
(
x 
+ ∆
x
)
2
 − 
x
2
 = 
x
2
 + 
2
x
 ⋅ ∆
x
 + 
(
∆
x
)
2
 − 
(
∆
x
)
2
 = 
(2
x
 + ∆
x
)
 ⋅ ∆
x
.
Îrttirmà 
∆
y 
= 
(
k 
+  α
)
  ⋅  ∆
x 
ko‘rinishdà  tàsvirlàndi.  Undà
0
lim
0
x
→
α =
, 
k 
= 
2
x
. Dåmàk, (
õ
2
)
′ =
 2
õ
;
3) funksiya îrttirmàsi:
∆
y 
= 
a
(
x 
+ ∆
x
)
2
 
+ 
b
(
x 
+ ∆
x
)
 
+ 
c 
− 
(
ax
2
 
+ 
bx 
+ 
c
)
 
=
= 
2
ax
 ⋅ ∆
x 
+ 
a
(
∆
x
)
2
 
+ 
b
 ⋅ ∆
x
.
Funksiya îrttirmàsining àrgumånt îrttirmàsigà nisbàti:
(2
)
2
ax a x b
x
y
x
x
ax a
x b
+ ⋅∆ + ⋅∆
∆
∆
∆
=
=
+ ⋅ ∆ +
;
tîpilgàn nisbàtning 
∆
x
→
0 dàgi limiti:
0
lim (2
) 2
x
y
ax a
x b
ax b
∆ →
′ =
+ ⋅ ∆ +
=
+
.
Dåmàk, (
ax
2
 
+ 
bx 
+ 
c
)
′
 
= 
2
ax 
+ 
b
;
4) 
∆
(
x 
3
)
 
= 
(
x 
+ ∆
x
)
3
 
− 
x 
3
 
= 
(3
x
2
 
+ 
3
x
 ⋅ ∆
x 
+ 
(
∆
x
)
2
)
 ⋅ ∆
x
,
2
2
2
0
0
lim
lim (3
3
(
) ) 3
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
∆ →
∆ →
∆
∆
′ =
=
+
⋅ ∆ + ∆
=
.