Kalit so
’zlar:
aniq integral, o
’zgaruvchini almashtirish, bo’laklab integrallash, amaliy masalalar.
Ключевые слова:
определенный интеграл, замена переменных, интегрирование по частям,
прикладных задачи.
Kay words:
exact integral, changing the modifier, integral ling after dividing, and practical problems.
Buyuk donishmand bobomiz Baxouddin Naqshband “Diling Ollohda qo’ling mеhnatda bo’lsin” dеya
yaratuvchilikka da
’vat etganlarida, har qanday ishni e’tiqod bilan bajarishni nazarda tutganlar.
Mustaqillik yillarida bunyodkorlik an
’analarimiz har bir jabhada rivojlana boshladi. Ma’lumki, o’zining
asl holatidan ko
’ra yuksakroq bo’lish, ta’bir joiz bo’lsa, “o’zidan qochish” mayli insonni harakatga undaydi.
Ana shu harakatning izchil tus olishi insonni komillikka
еtaklaydi. Olamning takomili harakat bilan bo’lgani
kabi, insonning takomili ham harakat bilandir. Shu harakat misolida
XX asrda va hozirda mat
еmatika
fani rivojiga o
’zining munosib hissasini qushgan va qushayotgan olimlarimiz T.N.Sarimsoqov,
S.X.Sirojiddinov, Sh.Ayubov, Sh.Alimov, A.Sa
’dullaеv, A.A’zamov, A.Abduqodirov va boshqalarni sanab
o
’tish mumkin.
Endi biror F kuch ta
’siri ostida M moddiy nuqta OS to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilayotgan
bo
’lib, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga
ko
’chganda F kuchning bajargan ishini topish talab qilinsin.
1) Agar F kuch o
’zgarmas bo’lsa, u holda A ish F kuch va o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan
ifodalanadi:
A=F(b-a)
2) F kuch moddiy nuqtaning olgan o
’rniga qarab uzluksiz o’zgaradi, ya’ni [a, b] kesmani uzunliklari
n
S
S
S
,...
,
2
1
bo
’lgan n ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz. Har bir [S
i-1
, S
i
] qismiy kesmada ixtiyoriy
i
nuqta tanlab olib, F(S) kuchning
i
S
yo
’lda bajargan ishini
i
i
S
F
)
(
ko
’paytma bilan almashtiramiz.
Oxirgi ifoda
i
S
yetarlicha kichik bo
’lganda F kuchning
i
S
yo
’lda bajargan ishning taqribiy qiymatini
beradi.
n
i
i
i
n
S
F
A
A
1
)
(
Yig
’indi F kuchning [a, b] kesmada bajargan ishning taqribiy ifodasi bo’ladi. Bu yig’indining
0
max
i
S
dagi limiti F(S) kuchning S=a nuqtadan S=b nuqtagacha bo
’lgan yo’lda bajargan ishini
ifodalaydi:
b
a
dS
S
F
A
)
(
(1).
Misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho
’zilishi ma’lum bo’lsa, uni 4 sm cho’zish uchun
qancha ish bajarish kerak?
Yechish. Guk qonuniga ko
’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx; Agar x=0,01 m va F=1 N
ekanligidan k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi.
Demak, F=100x bajarilgan ish ekanligini hisobga olsak
04
,
0
0
2
08
,
0
0
04
,
0
50
100
x
xdx
A
Javob : S=
08
,
0
(j.birlik).
Bizga ma
’lumki, agar [a,b] kesmada funksiya
0
)
(
x
f
bo
’lsa u holda
)
(
x
f
y
egri chiziq, OX
o
’qi va x=a hamda x=b to’gri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b
a
dx
x
f
S
)
(
(2)
ga teng bo
’ladi. Agar [a,b] kesmada
0
)
(
x
f
bo
’lsa, u holda aniq integral
b
a
dx
x
f
0
)
(
bo
’ladi.
Agar
)
(
x
f
funksiya [a,b] kesmada ishorasini chekli son marta o
’zgartirsa, u holda integralni
butun [a,b] kesmada qismiy kesmada qismiy kesmachalar bo
’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz.
0
)
(
x
f
bo
’lgan kesmalarda integral musbat,
0
)
(
x
f
bo
’lgan kesmalarda integral manfiy
bo
’ladi. Butun kesma bo’yicha olingan integral OX o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli
algebraik yig
’indisini beradi. Yuzalar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan
kesmalar bo
’yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig’indisini topish yoki
b
a
dx
x
f
S
)
(
(3)
Integralni hisoblash kerak.
Do'stlaringiz bilan baham: |