Aniq integralda o
’zgaruvchini almashtirish.
Bizga
b
a
dx
x
f
)
(
aniq integral berilgan bo
’lsin, bunda
f(x)
funksiya [a,b] kesmada uzluksizdir.
)
(
t
x
deb yangi o
’zgaruvchi kiritamiz, bunda
)
(
t
va uning hosilasi
,
),
(
'
t
kesmada
uzluksiz va
b
a
)
(
,
)
(
bo
’lsin.
Bu shartlar bajarilganda qo
’yidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
b
a
a
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
'
))
(
(
)
(
(4)
Aniq integral (4) formula bo
’yicha hisoblaganda yangi o’zgaruvchidan eski o’zgaruvchiga qaytish
kerak emas, balki eski o
’zgaruvchining chegaralarini keyingi boshlang’ich funksiyaga qo’yish kerak.
Aniq integralni bo
’laklab integrallash.
Faraz qilaylik,
)
(
)
(
x
v
va
x
u
funksiyalar [a,b] kesmada
differensiallanuvchi funksiyalar bo
’lsin. U holda: u=u(x) va v=v(x) deb olsak
'
'
)'
(
uv
v
u
uv
o’rinli bo’ladi.
Bu tenglikni ikkala tomonini a dan b gacha bo
’lgan oraliqda integrallaymiz.
b
a
b
a
b
a
dx
uv
vdx
u
dx
uv
'
'
)'
(
(5)
Lekin
C
uv
dx
uv
)'
(
bo
’lgani sababli
b
a
b
a
uv
dx
uv
'
)
(
bo’ladi.
Demak, (5) tenglikni qo
’yidagi ko’rinishda yozish mumkin:
b
a
b
a
udv
vdu
a
b
uv
Bundan
b
a
b
a
vdu
a
b
uv
udv
(6)
Bu formula aniq integralni bo
’laklab integrallash formulasi deyiladi.
Izoh: Ba
’zi integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasini bir necha marta qo’llash
mumkin.
Agar
)
(
)
(
2
2
1
1
x
f
y
va
x
f
y
egri chiziqlar hamda x=a va x=b to
’g’ri chiziqlar bilan
chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo
’lsa, u holda
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
shart bajarilgan figuraning
yuzi qo
’yidagiga teng:
b
a
dx
x
f
x
f
S
))
(
)
(
(
2
1
(7)
Misol. Y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda
]
2
,
0
[
x
.
Yechish.
]
2
,
2
/
3
[
]
2
/
,
0
[
x
va
x
da
0
cos
x
hamda
]
2
/
3
,
2
/
[
x
da
0
cos
x
bo
’lgani
uchun
2
0
2
/
0
2
2
/
3
2
/
3
2
/
0
2
/
sin
cos
)
(cos
cos
cos
x
xdx
dx
x
xdx
dx
x
S
4
)
1
(
1
1
1
2
3
sin
2
sin
2
sin
2
3
sin
0
sin
2
sin
2
/
3
2
sin
2
/
2
/
3
sin
x
x
Demak. S=4(kv.birlik)
Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
)
(
),
(
t
y
t
x
tenglamalari parametrik shaklda
berilgan chiziq bilan chegaralangan bo
’lsa, bunda bu tenglamalar [a, b] kesmadagi biror
)
(
x
f
u
funksiyani aniqlaydi, bunda
b
a
va
t
)
(
,
)
(
]
,
[
.
U holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b
a
vdx
S
formula bo
’yicha hisoblanishi mumkin bo’ladi.
Bu integralda o
’zgaruvchini almashtiramiz:
dt
t
dx
t
x
)
(
),
(
,
)
(
))
(
(
)
(
t
t
f
x
f
y
Demak,
dt
t
t
S
)
(
'
)
(
(8)
Bu formula chiziq parametrik tenglamalar bilan berilganda egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
hisoblash formulasidir.
Misol. x=acost, y=bsint ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi hisoblansin.
Yechish. Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2 ga ko
’paytiramiz.
0
,
1
cos
,
cos
,
1
cos
,
cos
t
t
t
a
a
t
t
t
a
a
uchun
a
x
a
0
0
2
.
sin
2
)
sin
(
sin
2
ab
tdt
ab
tdt
a
t
b
S
Javob :
ab
(kv.birlik).
Demak, xulosa qiladigan bo
’lsak aniq integralning quyidagi asosiy tushunchlarini o’rgandik:
Ishni aniq integral yordamida hisoblash.
Aniq integralda o
’zgaruvchini almashtirish.
Aniq integralda bo
’laklab integrallash.
Aniq integralni amaliy masalalar yechimlarini topishdagi tadbig
’i.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO
’YXATI
1.
www.ziyonet.uz
ta
’lim portali.
2. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Toshkent,
“O’qituvchi”, 1995 y.1-4 qismlar.
3.
Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-том, 2-том Т.: “Ўқитувчи”. 1974 й.
A.M.Pulotov
–
pedagogika fanlari nomzodi,
Navoiy viloyati pedagogik kadrlarni qayta tayyorlash va
ularning malakasini oshirish instituti ”Tabiiy va aniq fanlar ta’limi” kafedrasi mudiri, tel.: (+99895) 607-38-
98. E-mail.:
abdurayimpm@umail.uz
,
abdurayimpm@mail.ru