128
FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА
2020/4
quyidagi formula yordamida topiladi:
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d.
Ayirmasi
d
ga teng bo‘lgan{
a
n
} arifmetik progressiyaning
n
– hadi
y
=
dx
+(
a
1
-d
) chiziqli funksiyaning
x=n
nuqtadagi qiymatiga teng bo‘la-
di. Shuning uchun (1;
a
1
), (2;
a
2
),(3;
a
3
),…,(
n
;
a
n
),…. nuqtalar
y
=
dx
-
+(
a
1
-d
) to‘g‘ri chiziqda yotadi.
Masalan,
umumiy hadi
a
n
=2n-1
bo‘lgan arifmetik progressiyan-
ing geometrik tasviri
y
=2
x
-1 to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-4
-3
-2
-1
-1
x
-2
-3
-4
-5
Teskari tasdiq ham o‘rinli: Har
qanday
y
=
Ax
+
B
chiziqli funksi-
yaning x natural sonlarni qabul
qilgandagi qiymati arifmetik pro-
gressiyani tashkil qiladi.
Masalan,
y
=
(-4/3)
x
+8 funksi-
ya birinchi hadi (20/3), ayirmasi
d=(-4/3) bo‘lgan arifmetik pro-
gressiyani tashkil qiladi.
Arifmetik
progressiyaning
dastlabki
n
ta hadlari yig‘indisi
a
1
+a
2
+………+a
n-1
+a
n
ni S
n
bilan
belgilaymiz. Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadlari yig‘indisi
S
n
chetki hadlar yig‘indisinig yarmi bilan hadlar soni ko‘paytmasiga
teng, ya’ni
S
n
=
a
1
+a
2
+…+a
n-1
+a
n
=(
a
1
+a
n
)
n
/2.
1-
masala
.
Mevali bog‘ birinchi qatorga 1 dona daraxt, ikkinchi qa-
torga 2 dona daraxt , uchinchi qatorga 3 dona daraxt va hokazo n- qator-
ga n dona daraxt ekilgan to‘g‘ri burchakli uchburchak shaklga ega. 105
dona daraxt ekilgan shu shakldagi mevali bog‘ mavjudmi?
TALAB, TAKLIF VA TAHLIL
129
FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА
2020/4
o
o
O
O O
o
O
o
o
O
o o
o
O O
o o
o
O O
o
o o
o
O
o o o
o o
o
O
o o o o
o o
o
O
o o o o o
o
O
Yechish:
Agar 1+2+3+4+…+
n
=105 tenglikni qanoatlantiruvchi
n
natural son topilsa, bunday mevali bog‘ mavjud bo‘ladi, chunki
1,2,3,4,…,
n
arifmetik progressiya tashkil qilgani uchun
1+2+3+4+…+
n
=
n
(
n
+1)/2=105
Bu yerdan
n
=14 ekanligini topamiz.
Shunday qilib, 14 qator daraxt ekilgan to‘g‘ri burchakli uchburchak
shaklidagi bog‘ mavjud ekan.
2-masala.
1
2
+2
2
+3
2
+…+
n
2
=n(n+1)(2n+1)/6. Tenglikni isbotlang.
Yechish:
Bu tenglikni isbotlash uchun quyidagi ayniyatdan foyda-
lanamiz.
a(a+1)(a+2)-(a-1)a(a+1)=3
a
2
+3
a
Bu ayniyatdagi
a
ga ketma-ket
a
=1,
a
=2,
a
=3,…,
a
=
n
qiymatlar
berib,
n
ta tenglikni hosil qilamiz:
1 2
3-0
1 2=3
+3 1
2 3
4-1
2 3=3
+3 2
3 4
5-2
3 4=3
+3 3
…………………………………
(
n
-1)
n
(
n
+1)-(
n
-2)
n
(
n
-1)=3(
n
-1)
2
+3(
n
+1)
n
(
n
+1)(
n
+2)-(
n
-1)
n
(
n
+1)=3
n
2
+3
n
Bu tengliklarni qo‘shamiz va S1=1+2+3+…+
n
, S
2
=1
2
+2
2
+3
2
+…
n
2
belgilash olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz: n(n +1)(n+2)=3S
2
+3S
1
I.B.Kulanov, Sh.I.Burxonova, F.F.Odilov.
Arifmetik progressiya bilan bo‘g‘liq masalalar
130
FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА
2020/4
Bu tenglikdan S
2
ni topamiz: S
2
=((n(n+1)(n+2)-3S
1
)/3)=((n(n+1)
(n+2)-1,5n(n+1))/3=((n(n+1)(2n+1))/6))
Bizga shuni isbotlash talab etilgan edi.
3-masala
.
1
3
+2
3
+3
3
+…+
n
3
=(
n
(
n
+1)/2)
2
tenglikni isbotlang.
Yechish
: Bu masalani 1,2,3,…, sonlar uchun ko‘paytirish jadval-
idan foydalanib yechamiz
1
2
3
4
5
…
k
2
4
6
8
10
…
2k
3
6
9
12
15
…
3k
4
8
12
16
20
…
4k
5
10
15
20
25
…
5k
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
.
.
…
.
k
2k
3k
4k
5k
…
k
2
Jadvalda qizil bilan ajratilgan tartibdagi ixtiyoriy ikkita sonlarning
yig‘indisini qaraymiz, masalan:
4+8+12+16+12+8+4;
k+2k+3k+4k+5k+k
2
+…+5k+4k+3k+2k+k.
Arifmetik prograssiyaning n ta hadi yig‘indisi formulasidan foydal-
anib, bu yig‘indilar mos ravishda quyidagilarga teng bo‘ladi:
4(1+2+3+4+1+2+3)=4·4·4=4
3
k(1+2+2+…+k+1+2+…+(k-1))=k{2(1+2+…+k)-
k}=k{2·k(k+1)/2-k}=k
3
Shunday qilib, n×n jadvaldagi barcha sonlar yig‘indisi
1
3
+2
3
+3
3
+…+
n
3
ga teng. Ikkinchi tomondan birinchi, ikkinchi,
uchinchi,…,
n
- qatorlardagi sonlar yig‘indisi mos ravishda
1+2+3+…+
n
,
2(1+2+3+…+
n
),
TALAB, TAKLIF VA TAHLIL
131
FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА
2020/4
3(1+2+3+…+
n
),
………………….
n
(1+2+3+…+
n
) ga teng.
Bu yig‘indilarni qo‘shib, jadvalda joylashgan barcha sonlar yig‘in-
disi
(1+2+3+…+
n
)(1+2+3+…+
n
)=(1+2+3+…+
n
)
2
=(
n
(
n
+1)/2)
2
ga teng.
Talab qilingan tenglik isbotlandi.
Yuqorida keltirilgan masalalar o‘quvchilarning matematik bilim-
larini chuqurlashtirishga, matematik masalalar yechishda turli usul-
larini foydalanishga va xulosalar chiqarishda yordam beradi. Bu esa
o‘z navbatida, mustaqil mamlakatimiz yoshlarinining yangi innavasion
g‘oyalar yaratishiga ko‘maklashadi.
Adabiyotlar:
1. 9 sinf darsligi
2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н, Пасиченко
П.И., Задачи по математики. Москва. Наука.1990. С.6-14.
I.B.Kulanov, Sh.I.Burxonova, F.F.Odilov.
Arifmetik progressiya bilan bo‘g‘liq masalalar
132
FIZIKA, МАТЕМАТIКА va INFORMATIКА
2020/4
MUNDARIJA
ILMIY-OMMABOP BO‘LIM
Р.Х.Джураев, Н.Турдиев.
Методические проблемы проведения лабораторного
практикума по физике ...............................................................................................3
MATEMATIKA JOZIBASI
N.Dilmurodov, A.Jabborov.
Kvadrat tenglama ildizlarining tabiati........................
10
G.A.Sharipova.
Matematika darsdan tashqari mashg‘ulotlarida o‘quvchilar
biliminidagi bo‘shliqlarni bartaraf etish texnologiyasi..............................................
15
М.Н.Солаев, З.А.Наримбетова.
Умумий ўрта мактабларида илдизли
ифодаларни ҳисоблашда педагогиканинг тажриба усулини тадбиқ этиш..........
.22
ILG‘
OR TAJRIBA VA O
‘
QITISH METODIKASI
Э.Қ.Қаландаров.
Қатиқ жисимлар физикаининг методологик асослари..........
29
Т.Б.Кадиров.
Малака ошириш таълимида тингловчиларнинг ахборот
технологиялари соҳасидаги компетентлик тушунчаси моҳияти ва мазмуни.....
36
А.К.Кутбеддинов, А.М.Музафаров.
Физика фанини ўқитишда уран
радионуклид хусусиятларни умумлаштиришнинг ўзига хос томонлари...........
44
М.Толегенова.
Қайта тикланувчан энергия манбалари асосида ишлайдиган
қурилмаларнинг физик ҳамда технологик асосларини ўрганиш.........................49
M.A.Maxmudova.
Umumiy o‘rta ta'lim maktablarida multimedia vositalaridan foy-
dalanishning amaliy samaradorligi.............................................................................58
З.Н. Обидова.
Умумтаълим мактабларига физика ўқитишда тарихий-методологик
тавсифга эга бўлган масалларнинг роли ва аҳамияти..........................................64
OLIMPIADA VA MASALALAR YECHISH BO‘LIMI
Masalalar va yechimlar...........................................................................................
....72
TALAB, TAKLIF VA TAHLIL
Н.А.Каримов.
Барча ўқитувчиларни яхши ўқишлари ва юқори натижа
кўрсатишлари мумкинлигига ишонтириш.............................................................
83
М.А.Турсунов.
Ўқитиш самарадорлигини оширишда электрон таълим
ресурсларидан фойдаланиш.....................................................................................
94
M.Djorayev, E.B.Xujanov, J.Baratov.
Umumiy oʻrta maktablarida fizika oʻqitishini
nostandart topshoriqlar asosida takomillashtirish....................................................
100
У.Х.Хонқулов.
Вектор тушунчаси ёрдамида алгебраик масаларни ечиш........
105
Э.О.Шарипов, С.Ю.Шодиев.
Баъзи масаларни ечиш усуллари.........................
113
I.I.Tojiyev, S.M.Nurullayev.
Silindrik idishdagi suyuqlik miqdorini aniqlash.......119
I.B.Kulanov, Sh.I.Burxonova, F.F.Odilov.
Arifmetik progressiya bilan bo‘g‘liq
masalalar.....................................................................................................................127
