135
S
d
E
S
d
E
S
d
Е
Ф
d
n
=
=
′
=
α
cos
(9.8)
Bu yerda
α
- kuchlanganlik chizig‘i bilan dS yuzaga o‘tkazilgan normal
n orasidagi burchak.
dS
′
esa dS yuzaning kuchlanganlik chiziqlariga
perpendikulyar bo‘lgan tekislikka proyeksiyasi. U holda butun yuza
orqali o‘tayotgan maydon kuchlanganligi oqimi dF elementar
oqimlarining yig‘indisi bilan ifodalanadi. Buni integrallash amali orqali
quyidagicha yozamiz:
∫
∫
=
Φ
=
S
n
S
dS
E
d
Ф
(9.9)
E vektorining radiusi r bo‘lgan sferik sirt orqali oqimini topaylik.
(9.6) ni eslasak
2
0
4
1
r
q
E
E
n
ε
π
=
=
ikkinchi tomondan, r radiusli sferik sirtning to‘liq yuzi
4
π
r
2
ga teng.
Natijada
∫
=
⋅
=
=
S
n
q
r
r
q
dS
E
Ф
0
2
2
0
4
4
1
ε
π
ε
π
(9.10)
Bu ifoda bitta nuqtaviy zaryadni o‘rab turgan sferik sirt orqali
o‘tuvchi E vektorining oqimini ifodalaydi. Endi biror yopiq sirt ichiga
qiymatlari ixtiyoriy bo‘lgan q
1
, q
2
va hokazo nuqtaviy zaryadlar
joylashgan bo‘lsin.
Maydonlarning supperpozitsiya prinsipiga muvofiq (9.7) ga
asosan:
∑
=
+
+
=
κ
κ
1
2
1
i
ni
n
n
n
n
E
Е
Е
Е
Е
K
(9.11)
(9.11) va (9.9) lardan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:
∫
∑∫
∑
∫
=
=
=
=
=
S
i
S
ni
i
ni
n
S
d
E
S
d
E
s
S
d
E
Ф
κ
κ
1
1
(9.12)
Bu ifoda i nuqtaviy zaryad tufayli vujudga kelgan E
ni
- elektr
maydon kuchlanganligi vektorining shu zaryadni o‘rab turuvchi ixtiyoriy
berk S sirt orqali oqimini xarakterlaydi. Yuqoridagi (9.10) munosabatga
asosan:
0
ε
i
S
ni
q
S
d
E
=
∫
Buni e’tiborga olib (9.12) ni quyidagicha yozamiz:
136
∑
∫
=
=
=
Φ
n
i
i
S
n
q
dS
E
1
0
1
ε
(9.13)
Bu ifoda
Gauss teoremasi deb ataladi. Bu teoremani quyidagicha
ta’riflash mumkin: elektr maydon kuchlanganlik vektorining ixtiyoriy
shakldagi berk sirt orqali oqimi shu sirt ichida joylashgan zaryadlar
algebraik yig‘indisining
εεεε
0
ga bo‘lgan nisbatiga tengdir.
Gauss teoremasidan foydalanib zaryadning sirt zichligi +
σ
bo‘lgan tekis zaryadlangan cheksiz tekislikning elektr maydon
kuchlanganligini topaylik, u
0
2
ε
σ
=
Е
(9.14)
ga teng bo‘ladi, bu yerda
S
q
=
σ
zaryad
sirt
zichligidir. Ikkita o‘zaro parallel tekis
zaryadlangan
cheksiz
tekisliklarning
oralig‘idagi elektr maydon kuchlanganligi
0
0
0
2
2
ε
σ
ε
σ
ε
σ
=
+
=
+
=
+
Е
Е
Е
(9.15)
bo‘ladi. Demak, natijaviy maydon ikkala zaryadlangan tekislik tufayli
vujudga kelgan maydonlarning yig‘indisidan iborat bo‘lar ekan (9.4-
rasm). Bu ikki tekislik orasidagi maydonning barcha nuqtalarida E ning
qiymati va yo‘nalishi bir xil bo‘lgani uchun bu maydonni
bir jinsli
maydon deb ataladi.
9.4- . Elektrostatik maydon kuchlarining ishi. Potensial
Qo‘zg‘almas
nuqtaviy
q
zaryad
maydonida joylashgan
q` zaryadni 1 dan 2
nuqtaga ko‘chirishda maydon kuchlarining
bajargan ishini hisoblaylik. Uzunligi dl ga teng
bo‘lgan elementar yo‘lda bajarilgan ish (9.5-
rasm).
dr
r
q
q
l
d
r
q
q
l
d
F
A
d
2
0
2
0
4
1
cos
4
1
cos
′
⋅
=
′
⋅
=
=
ε
π
α
ε
π
α
9.4 –rasm.
9.5 –rasm.
137
teng bo‘ladi. Bu yerda
dr = dl cos
α
. 1-2 nuqtalar orasidagi yo‘lda
bajarilgan ishni topamiz:
′
−
′
=
′
=
=
∫
∫
2
1
0
2
0
2
1
4
1
4
2
1
r
q
q
r
q
q
r
dr
q
q
dA
A
r
r
πε
πε
(9.16)
Mexanika qismidan ma’lumki, maydon kuchlarining yopiq
yo‘lda bajargan ishi nolga teng, ya’ni
0
cos
=
′
∫
α
l
d
E
q
i
l
bu yerda E
i
- E vektorning elementar ko‘chish dl yo‘nalishiga bo‘lgan
proeksiyasidir (integral belgisidagi aylana yopiq kontur bo‘yicha integral
olinayotganligini ko‘rsatadi). Ishni ifodalovchi integralni nolga
tenglashtirib,
o‘zgarmas
kattalik
q`
ni
qisqartirsak,
quyidagi
munosabatga ega bo‘lamiz:
0
=
∫
l
d
Е
i
l
(9.17)
bu munosabat istalgan yopiq kontur uchun bajarilishi kerak.
Demak, (9.17) munosabatdan ko‘rinadiki, elektr maydon-potensial
maydondir va
bu maydon kuchlanganlik vektorining ixtiyoriy berk
kontur bo‘yicha sirkulyatsiyasi nolga teng bo‘ladi.
Yuqoridagi mulohazalardan foydalanib, (9.16) formula orqali
ifodalangan ishni
q
′
zaryad maydonining 1 va 2 nuqtalaridagi potensial
energiyalari farqi sifatida ifodalash mumkin.
2
1
2
0
1
0
12
4
1
4
1
P
P
W
W
r
q
q
r
q
q
А
−
=
′
−
′
=
πε
πε
Bundan 1 va 2 nuqtalarda joylashgan q
′
zaryadning q zaryad
maydonidagi potensial energiyasi:
2
0
2
1
0
1
4
1
;
4
1
r
q
q
W
r
q
q
W
P
P
′
=
′
=
πε
πε
teng ekanligi kelib chiqadi. Umumiy holda
q
′
maydonni ixtiyoriy
nuqtasida joylashganda uning potensial energiyasi
r
q
q
W
P
′
=
0
4
1
πε
(9.18)
Turli q
′
, q
″
va hokazo sinash zaryadlari maydonning muayyan nuqtasida,
138
''
'
,
P
P
W
W
va hokazo energiyaga ega bo‘ladi. Lekin, barcha zaryadlar
uchun
'
/ q
W
P
nisbatan bir xil bo‘ladi. Quyidagi kattalik
r
q
yoki
q
W
P
0
4
1
πε
ϕ
ϕ
=
′
=
(9.19)
potensial deb ataladi.
Agar elektr maydon zaryadlar sistemasi tomonidan vujudga
kelayotgan bo‘lsa, natijaviy potensial tekshirilayotgan nuqtadagi
Do'stlaringiz bilan baham: 
