359
pastroq energiyali barcha ruxsat etilgan holatlarni elektronlar ishg‘ol
etgan (bu holatlarning har birida bittadan elektron bor),
µ
0
dan yuqori
energiyali holatlar esa batamom bo‘sh bo‘ladi. Demak,
µ
0
– absolyut nol
haroratdagi metallda erkin elektronlar ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan
maksimal energiyadir. Energiyaning bu qiymatini Fermi energiyasi deb
ataladi va W
f
bilan belgilanadi.
Shuning uchun Fermi-Dirak taqsimoti quyidagi ko‘rinishda
yoziladi:
1
1
)
(
)
(
+
=
〉
〈
−
е
КТ
w
w
f
w
N
(21.9)
W
f
energiyali sathni
Fermi sathi deb ataladi.
Metallning harorati ortishi bilan elektronlar yuqoriroq energetik
sathlarga
o‘ta
boshlaydi,
natijada
ularning
holatlar
bo‘yicha
taqsimlanishi ham o‘zgaradi. (21.9) ga asosan, T
≠
OK haroratlar uchun
W=W
f
bo‘lganda yarimga teng,
W>W
f
bo‘lganda yarimdan kichik,
W
f
bo‘lganda yarimdan katta.
21.4 – rasmda ning W ga
bog‘liqlik grafigi tasvirlangan.
OK dan
farqli haroratlarda bu grafik W ning kichik
sohasi (~KT) da 1 dan 0 gacha o‘zgaradi.
Metallning
harorati
oshirilganda
metalldagi erkin elektronlarning faqat bir
qismigina Fermi sathidan uzog‘i bilan KT
qadar
pastki
energetik
sathlarda
joylashgan bo‘lishi kerak. So‘ngra bu
elektronlar kristall panjaraning issiqlik
tebranishlaridan qo‘shimcha energiya olib yuqoriroq energetik sathlarga
ko‘tarilishi mumkin. Agar
F
W
КТ
≥
(21.10)
shart bajarilsa, ixtiyoriy erkin elektron kristall panjara bilan energiya
almashinish imkoniyatiga ega bo‘ladi.
21.4 –rasm.
360
21.3 §. Metallar elektr o‘tkazuvchanligining
kvant nazariyasi
Zommerfeld Fermi – Dirak statistikasiga asoslangan metallar
elektr o‘tkazuvchanligi (
σ
) ga oid nazariy hisoblashlarni amalga oshirib
quyidagi munosabatni hosil qildi:
f
f
m
nl
е
υ
σ
2
=
yoki
)
(
2
f
f
l
m
n
е
υ
τ
τ
σ
=
=
(21.11)
Bu ifodadagi
e – elektronning zaryadi,
n – erkin elektronlar
konsentratsiyasi, l
f
– Fermi energiyasiga ega bo‘lgan elektronning erkin
yugurish o‘rtacha masofasi,
υ
f
– fermi energetik sathidagi elektronning
issiqlik harakat o‘ratacha tezligi,
τ
- relaksatsiya vaqti deyiladi, bu
muvozanat vujudga kelgan vaqtni ifodalaydi. Zommerfeld formulasidagi
υ
f
– haroratga bog‘liq emas, chunki W
f
ning qiymatiga harorat
o‘zgarishlari ta’sir etmaydi.
Klassik va kvant nazariyalarida erkin yugurish masofasi (l
f
)
turlicha talqin qilinadi. Ma’lumki, klassik nazariyada erkin elektronlar
to‘plamini elektron gaz deb hisoblanar edi. Bu gazning zarralari –
elektronlar o‘z yo‘lida uchratgan kristall panjara tugunidagi ionlarga
urilib turadi. Metallarning elektr qarshiligi ana shu to‘qnashishlar tufayli
paydo bo‘ladi.
Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan qaraganimizda ideal kristall
panjaradagi elektronlar hech qanday to‘siqqa uchramasdan harakat
qiladi, buning natijasida metallardagi elektr o‘tkazuvchanlik cheksiz
katta bo‘lishi mumkin, lekin kristall panjara hech vaqt ideal sof
bo‘lmaydi, chunki panjarada doimo ma’lum darajada nuqsonlar
(aralashma va vakansiya) bo‘ladi. Bu nuqsonlar elektronlarning
sochilishiga olib keladi, ya’ni ularning tartibli harakatiga to‘sqinlik
ko‘rsatadi. Bundan tashqari panjaraning atomlari ham doimo muvozanat
vaziyati atrofida tebranib (issiqlik tebranishi hosil qilib) turadi va erkin
elektronlar bilan to‘qnashadi. Bu sabablar metallarda elektr qarshiligini
vujudga keltiradi.
Agar metall qancha toza va harorati qancha past bo‘lsa, elektr
qarshilik shuncha kam bo‘ladi. Metallarning solishtirma elektr qarshiligi
ikki had yig‘indisi tarzida ifodalanadi:
aralash
teb
ρ
ρ
ρ
+
=
,
(21.12)
361
bundagi
ρ
teb
– panjaraning issiqlik tebranishlari tufayli vujudga keladigan
qarshilik,
ρ
aralash
– aralashma atomlarida elektron to‘lqinlarning
sochilishi tufayli vujudga keladigan qarshilik.
Temaperatura ortgan sari elektron to‘lqinlarning panjara issiqlik
tebranishlarida sochilishi ortadi, ya’ni elektronlarning erkin yugurish
o‘rtacha masofasi l
f
kamayadi, o‘tkazuvchanlik ham kamayadi,
ρ
teb
ortadi. Harorat
T
→
0 da
ρ
teb
→
0 bo‘ladi, ammo
ρ→ρ
aralash.
Odatda,
ρ
aralash
ni qoldiq qarshilik deb ham yuritildi, chunki u deyarli haroratga bog‘liq
bo‘lmagani uchun OK da ham uning qiymati o‘zgarmay qoladi.
Do'stlaringiz bilan baham: 
