|
b
y
a
x
ni
ko‘paytirishning umumiy qoidasini beradi va bu qoida bo‘icha misollar keltiradi. Bu misollardan bir
necha namunalar ko‘rsatamiz:
1)
―Agar birsiz o‘nni birsiz o‘nga ko‘paytirsang, bu o‘nning-o‘nga ko‘paytmasi yuz
ayriluvchi birni o‘nga – bu ayriluvchi o‘n yana ayriluvchi birni o‘nga – bu ayriluvchi o‘n, hammasi
birgalikda – sakson, ayriluvchi birni ayriluvchi birga – bu qo‘shiluvchi bir va bular hammasi
birgalikda – sakson bir‖ shu ko‘paytirish qoidasini hozirgi belgilarda quyidagicha ifodalash
mumkin: (10-1) ·(10-1)=10·10-1·10-10·1+1·1=100-10-10+1=80+1=81
2)
―Agar senga narsa bilan o‘nni o‘nsiz narsaga (ko‘paytir) deyilsa, sen ayt: narsaning
o‘nga (ko‘paytmasi) – bu qo‘shiladigan o‘n narsa narsaning narsaga – bu qo‘shiluvchi kvadrat,
ayriluvchi o‘nning o‘nga - bu ayriluvchi yuz dirham, ayriluvchi o‘nning narsaga – bu ayriluvchi
o‘n narsa; shuning uchun sen qo‘shiluvchi o‘n narsani ayriluvchi o‘n narsaga qarama-qarshi
qo‘yganingdan, ya‘ni etishtirganingdan keyin, dirhamlarsiz kvadrat deysan yoki yuz dirhamsiz
kvadrat qoladi‖. Hozirgi belgilarda bu (10+x) ·(x-10)=(x+10)·(x-10)=x·x+10·x-10·x-10·10=x
2
+10x-
10x- -100=x
2
-100 bo‘ladi.
3)
Xorazmiy bir jinsli bo‘lgan algebraik ifodalarni qo‘shish va ayirishni kesmalarda
tasvirlab isbotlaydi. Masalan: ―O‘nsiz ildiz ostiga ikki yuzga ildiz ostiga ikki yuzsiz yigirmani
qo‘shishga kelsak, u shaklda quyidagicha bo‘ladi‖-deb Xorazmiy isbotdagi yasashlarni so‘z bilan
bayon etadi. Uning isbotini hozirgi belgilar bilan mana bunday yozish mumkin:
Agar
200
AB
va
10
AC
desak, (10-shakl), SB= 200 -10 bo‘ladi. So‘ng B nuqtadan
BD=2AC=2·10=20 kesma chiziladi. BD kesmadan BE=AB= 200 kesma ajratilsa, DE=BD-
BE=20- 200 bo‘ladi. BE kesmaga CB=BF= 200 -10 kesma qo‘yilsa, bu holda EF=10 va
DE+BF=BD-EF=20-10-10 bo‘ladi, ikkinchi tomondan: DE+BF=10 yoki ( 200 -10) +(20-
200 )=10. demak, ( 200 -10)+(20- 200 )= 200 - -10+20- 200 =10, ya‘ni bu ikki ifodaning
yig‘indisi o‘nga teng ekanligi shakl yordamida isbotlandi.
84
Xorazmiy o‘zi talqin qilgan algebraik va arifmetik amallarni olti bobda bayon qilganidan
keyin, ularni tushuntirish maqsadida hamda al-Jabr va al-Muqobala qoidasini tushuntirish uchun
konkret misollar keltiradi. Xorazmiy 100+x
2
-20x va 50+10x-2x
2
ko‘rinishdagi bir jinssiz ifodalarni
bir-biriga qo‘shish geometrik shaklsiz ham oson ekanligini uqtirib, bu ifodalarni qo‘shishni so‘z
orqali shunday bajaradi:
(100+x
2
-20x)+(50+10x-2x
2
)=(100+x
2
-20x)+(50+10x)-2x
2
=150+x
2
-10x-2x
2
=150-x
2
- -10x
A
C
D E F
B 10-shakl
Xorazmiy algebraik ifodalar ustida amallar bajarish bobidan so‘ng yuqorida ko‘rsatilgan
olti tipdagi tenglamalarga keltiriladigan va proporstiya yordamida echiladigan sonli masalalarni
echish qoidasini beradi. Masalan, ―Sen uchdan bir narsa va dirhamni to‘rtdan bir narsa va dirhamga
ko‘paytirsang yigirmaga teng bo‘ladi‖. Bizning belgilarda ushbu tenglama hosil bo‘ladi:
20
1
4
1
3
x
x
(1')
(1') tenglamaning chap qismi hadma-had ko‘paytirilib bunday ko‘rinishda yoziladi:
20
1
4
3
12
2
x
x
x
(2')
(2') ga al-muqobala operastiyasi qo‘llanilsa:
19
4
3
12
2
x
x
x
(3')
(3') ni kasrdan qutqazib ixchamlansa, IV tur tenglamaga keladi. x
2
+4x+3x=228 yoki
x
2
+7x=228 (4')
(4')
tenglamaning
ildizi
quyidagi
formula
bo‘yicha
topiladi:
12
2
1
3
2
1
15
2
7
4
1
240
2
7
228
4
1
12
2
7
228
2
7
2
2
2
2
b
c
b
x
Demak, izlangan ―narsa‖ x=12 ekan.
Amaliy masalalar ichida, odamlar o‘rtasida pul yoki g‘allani taqsimlashda odamlarning
sonini topishga doir masalalar shu sonning bo‘lagini topish usuli bilan hal qilinadi. Masalan, ―Sen
odamlar o‘rtasida dirhamni bo‘l, ularning har biriga ma‘lum narsa tegadi, agar bu odamlarga yana
bir odam qo‘shilsa, har biriga tegadigan narsa birinchi galdagidan oltidan biriga kam bo‘ladi.
Buning qoidasi bunday bo‘ladi‖-deb Xorazmiy masala shartidan tenglama tuzadi va uni ochadi.
Odamlar sonini x bilan har bir kishiga tegadigan ―narsa‖ ni
x
1
va bir odam qo‘shilgandan
so‘ng har bir kishiga tegadigan ―narsa‖ ni
1
1
x
bilan belgilab, masala sharti bo‘yicha
6
1
1
1
1
x
x
(1'') tenglama tuzadi. (1'') tenglamani echish uchun uning shaklini aynan
o‘zgatiradi:
6
1
)
1
(
1
x
x
x
x
yoki
1
)
1
(
)
1
(
6
1
x
x
x
x
(2'')
(2'') ni qavsni ochib kasrdan qutqarilsa, IV tur tenglama hosil bo‘ladi:
1
6
1
6
1
2
x
x
yoki x
2
+x=6 (3'')
85
(3'') tenglamaning musbat ildizi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
2
2
1
2
1
2
2
1
4
1
6
2
1
6
4
1
2
1
6
2
1
2
2
2
2
b
c
b
x
Demak, dastlab dirhamni bo‘lishga ikki kishi qatnashgan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
