J(x)
funksiyaning
a
nuqtadagi limiti
deyiladi.
3.35-misol. lim(3x — 1) = 5 ekanini isbotlang.
Yechish. ^x)=3x-l funksiyani qaraymiz va ixtiyoriy e>0 son olamiz. U holda
\f(x) —
5| <
e
<=>
\3x —
1
- 5| <
£
<=> |3(x — 2)| <
£
<=>
\
x
— 2| <
74
munosabatlardan ko'nnadiki, agar e>0 son uchun
8
= | deb olsak, u holda |x-2|boiganda, |Ддг)-5|<е tengsizlik bajariladi. Buesa, tanfgako'ra lim(3jr-l)=5 ekanini
x —*2
bildiradi.
3.36-misol. lim(x
2
— 3) =
6
ekanini isbotlang.
Yechish.
bo‘lsin. Ixtiyoriy e>0 son olaylik. U holda |
f(x) -
6
| <
e
<=> |x
2
— 3 —
6
|
< s <=> \x2
— 9| <
e,
bundan
\
x
+ 3||x - 3| < e
(
1
)
munosabat o‘rinli.
Agar
5
ni 1 dan kichik deb olsak, u holda
\
x
— 3| <
8
<
1
dan 2chiqadi.
x
shu oraliqda o‘zgarganda (
1
) tengsizlikning chap tomoni
7
•
\
x -
3
| dan
katta boLla olmaydi. Shu sababli 7
•
\
x
-
3|
<
e
deb olsak, (
1
) o'rinli bo'ladi.
8
s
Demak,
S=min{
1,-} deb olsak, u holda |Дх)-6|=|х+3|- |x-3|<7
--
bo‘ladi. Bu esa,
ta’rifga ko‘ra Н т ^ - З ) ^ ekanini bildiradi.
x->3
#
^
3.37-misol. Koshi ta'rifidan foydalanib lim----= 4 tenglikni isbotlang.
v-2
X - 2
x'
2
— 4
Yechish. /(*) = ---— funksiya
x-2
nuqtada aniqlanmagan. Ixtiyoriy e>0
son olamiz va |/(*)-4| ifodani qaraymiz: |/(.v)-4|=
=|*+2-4|=|x-2|. Bundan ko'rinadiki, agar
ixtiyoriy e
>0
son uchun
8
=z
deb olsak,
0
<|
x-
2
1<5 shartni qanoatlantiruvchi
barcha
x
larda |/(дг)-4|<б tengsizlik bajariladi. Demak, ta'rif bo'yicha
* 2- 4
1
{x-2)(x+2)
x-2
x-2
x'-4
lim-— — = 4
x-2
3.38-ta’rif. Agar ixtiyoriy A>0 son uchun shunday bir
6>0
son mavjud bo‘lib,
xeX
ning 0<|x-a|<6 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |Дх)|>Д
75
tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda oo nuqta
J(x)
funksiyaning
a
nuqtadagi limiti
deyiladi. Bu hoi lim
f(x)
= oo orqali belgilanadi.
Agar
x
ning
a
gayetarlichayaqin qiymatlanda Длг)>0 bo'lsa, lim
f(x)
= +
00
,
x->a
agar
7
(x
)<0
bo'lsa, lim /(x ) =
-00
kabi yoziladi.
x->a
3.39-misol. lim—— =
00
ekanligini isbotlang.
X~>1
X—1
0
"
Yechish.
f(x)
= ■
— funksiyaning aniqlanish sohasi (—
00
, 1) и (1, +
00
),
a
=
1 uning limit nuqtasi. Ta’rif bo'uicha ixtiyoriy Д> 0 son uchun shunday bir
8 > 0
son mavjud bo'lib, aniqlanish sohasiga tegishli
x
ning
0
< |x-l| <
8
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |^| > A tengsizlik o'rinli bo'lishini
ko'rsatishimiz kerak.
|у-^| > A tengsizlikdan
\
x —
1| < i ni hosil qilamiz. Agar ixtiyoriy A> 0
son uchun
8
= - ni olsak, u holda
0
< |лг—11 < <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
x
larda M — > A o'rinli bo'ladi. Demak, lim — =
00
.
u
-11
’
x-+lX-\
2.2. Funksiyaning bir tomonli limitlari.
3.40-ta’rif. Agar ixtiyoriy
S>0
uchun
(a-S;a)
intervalda
X
to'plamning
kamida bitta nuqtasi bo'lsa, u holda
a
nuqta
X
to'plamning
chap limit
nuqtasi
deyiladi.
Masalan, (2,4) imterval uchun 4 chap limit nuqta bo'ladi.
3.41-ta’rif. Agar ixtiyoriy ^>0 uchun
(a,a+S)
intervalda
X
to'plamning
kamida bitta nuqtasi bo'lsa, u holda
a
nuqta
X
to'plamning
о ng limit
nuqtasi
deyiladi.
Masalan, (2,4) imterval uchun 2 o'ng limit nuqta bo'ladi.
Aytaylik, .у^Дл:) funksiya^ to'plamda berilgan bo'lib,
a
nuqta
X
to'plamning
chap (yoki o'ng) limit nuqtasi bo'lsin.
3.42-ta’rif (Geyne). Agar
X
to'plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi
a
dan katta (mos ravishda, kichik) bo'lib,
a
ga mtiluvchi ixtiyoriy {*„} ketma-ketlik
olganimizda ham, funksiya qiymatlaridan tuzilgan (Дх„)} ketma-ketlik doim yagona
76
b
ga intilsa,
b
son
fix)
funksiyaning
a
nuqtadagi о
ng
(mos ravishda,
chap) limiti
deyiladi.
Funksiyaning o‘ng limitini lim
f[x)=b yok\J(a+0)=b,
chap limitini
x - * a
+0
lim
J(x)=b yok\J(a-0)=b
orqali belgilanadi. Agar a=0 bo'lsa, Нт/дг)=У(-К)),
л-Уо—0
x-»+0
lim.ДдО^-О) kabi belgilash ishlatiladi.
x-v-0
{
x
— 4,
aqar x
< 2,
2
„
funksiyaning
x = 2
xz, agar
x > 2
nuqtadagi chap va ong limitlarini hisoblang.
Yechish. Agar
x„<2
shartlar bilan 2 ga yaqinlashuvchi {*„} ketma-ketlik
olsak, u holda / (
xn)
=
xn
— 4 va lim /(x n) = lim (xn — 4) = lim
xn —
lim 4
П - » oo
n - » o o
n - * o o
n - » o a
= 2 - 4 = —2 bo'ladi.
Agar
x„>2
shartlar bilan 2 ga yaqinlashuvchi {*„} ketma-ketlik olsak, u holda
/(*„) =
xl
va lim /(* „ ) = lim
x%
= 4 bo'ladi.
7 l - > o o
71 “ >00
Demak, Urn / ( * ) = —2, lim /(* ) = 4. Bu misoldachap vao'ng limitlar
mavjud, ammo bir-biriga teng emas.
Funksiyaning chap va o‘ng limitlariga “
s-S
” tilida ham ta’rif berish mumkin.
3.44-taVif (Koshi). Agar har qanday, kichik
s
>0 son uchun shunday bir <£>0
son mavjud bo'lib,
xeX
ning
a
r+5 (
a-b
) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha qiymatlarida
1
Дх)-
6
|<£ tengsizlik bajarilsa,
b
son ^(jc) funksiyaning
a
nuqtadagi
о 'ng (chap)
limiti deyiladi.
Funksiyaning chap va o'ng limitlari uning
birtomonli limitlari
deb yuritiladi.
Agar
a
nuqta, bir vaqtda^f to'plamning ham chap, ham o'ng limit nuqtasi bo'lsa, u
holda quyidagi teorema o'rinli.
3.45-teorema. Ддс) funksiya,
a
nuqtada limitga ega bo'lishi uchun, shu
nuqtada uning chap va o'ng limitlari mavjud bo'lib, У(а-
0
)=^Да+
0
) tenglik o'rinli
bo'lishi zarur va yetarli
Isbot (3-62-masala).
77
3.46-ta’rif. Ixtiyoriy A>0 son uchun (A;
+
00
)
interval
+00
«nuqta»ning, (-oc; A)
interval -ac «nuqta»ning, (-go;A)u(A;+qc) to‘plam esaoo «nuqta»ning
atrofi
deyiladi.
Qolaversa, oo, +oc, -oo «nuqta»lar bu to‘plamlarga limit nuqta bo'lishi
yuqoridagi kabi ta’riflanadi. Bu holda ham, mos ravishda limx„=oc', lim.v„=-Hx, lim
П-ДО
/t->00
rt-KO
x„=-cc
bo'ladigan {*„} ketma-ketliklami cheksiz ko'p usullarda tanlab olish
mumkin.
3.47-ta’rif. (Geyne). Agar
X
to'plamdan olingan va lim
xn
=
00
bo'lgan
П-*
00
ixtiyoriy {дсл} ketma-ketlik uchun, funksiya qiymatlaridan tuzilgan {/(*„)} ketma-
ketlik, har doim yagona
b
limitga ega bo'lsa, u holda
b
soni/дс) funksiyaning
cheksizdagi ("
00
" nuqtadagi)/ш/7/deyiladi vaquyidagichabelgilanadi: lim
f(x) =
X
-+00
b.
Shunga o'xshash funksiyaning
-
00
, -foo
nuqtalardagi
limitlariga
ta’rif berish
mumkin.
3.48-misol.
J(x)=sinx
funksiyaning дг-++оо da limitga ega emasligini
ko'rsating.
Yechish. Limiti +oc bo'lgan
хп=пк
yoki
x'n
= (2n -I-
^)n
ketma-ketliklami
olaylik. U holda
f(xn
) =
sinnn
=
0
,f(x'n)
=
sin(2n
+
^)n=
1
bo'lgani uchun,
/(*n) =
= * bo'ladi. Bu esa, х->-кю da^)=sim: funksiyaning
limiti yo'qligini ko'rsatadi, chunki ta’rif bo'yicha limit yagona bo'lishi kerak.
Yuqorida funksiyaning nuqtadagi va cheksizdagi chekli limitlariga ta’riflar
berildi. Shunga o'xshash holda funksiyaning nuqtadagi va cheksizdagi cheksiz
limitlariga ta’riflar berish mumkin (63-65-masalalar).
Mashq va masalalar
3-61. To'plamning limit nuqtasiga berilgan ta’riflaming ekvivalentligini,
ya’ni quyidagi teoremani isbotlang:
5>0>6>5>7>4>Do'stlaringiz bilan baham: |