T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

a
■
 
b
 
c
a~ 
b 
с
hisoblang.
Yechish. 
Agar ellipsoidni 
x=h
 tekislik bilan kesib oMsak, kesimda
—  = 1  ellips  hosil  boMadi.  Bu  ellipsning  yanm  o‘qlari
a~ 
a
a
boMadi.  (1) formulaga ko‘ra izlanayotgan hajm
309

---

d 
d
V = n^x2dy = n^{(p{y))1ciy,
  bu  yerda 
X-

  chiziq
С 
С
tenglamasi.
* 
*
V = *\y1dx=x\ (f(x)fdx
 
(2)
a 
a
12.7-misol. 
iL+  ^-r-1  ellipsni 
Ox
 o'q atrofida aylantinshdan hosil bo'lgan 
a 
b~
jism hajmini hisoblang.
Yechish. 
(2) formulaga ko'ra
b2
1
 
3
 
a 3 
4 
2
=  2 л — ( a
------) = 
— n a b   .
a2 
3 
3
12.8-misol.  x = a(t-sint),  y = d(
 
1-COS/), 
0<>t<2x
 
sikloida  arkasini 
Ox 
o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo'lgan figura hajmini toping.
Yechish. (2) 
formuladan foydalanamiz.  Bunda 
0na
  bo'ladi.  Demak,
Ixa
V = n f   y2dx.
  Bu  integralda  o'zgaruvchilami  almashtiramiz. 
X=a{t —
Sin/),
о
y = Cl{\ —
 
COS/) 
deb olamiz,  u holda 
dx = a(\ —COS t)dt
  bo'ladi.  Agar 
x/=0
 bo'lsa,
310

---

*i -0,  Jf2 - 2  
яа
  bo'lsa,  /2-2/г  bo'ladi.  Bulami  e’tiborga  olib,  quyidagini  hosil 
qilamiz:
V -л
 
J  
y2dx =
 ^ | a 2(l-cosO :a (l- c o s /)^
и
0
= ла3 j  (1 - cos t)3dt = ла '
 
J  
(l-3cosf + 3cos2f-cos3f)c/r
0
0
ла3((г -
3sin0|^ 
+ 
3 
J — ?°s2tdt
 - J (1 - sin2
/)ft 
**
о 
о
4-§. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
4.1. 
To‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  sistemasida  yassi  yoy  uzunligini 
hisoblash. 
Aytaylik, 
y=f(x)
  funksiya 
[a,b]
  kesmada aniqlangan,  uzluksiz va / shu 
funksiya grafigi  bo'lsin.  (75-rasm).  Yassi  / egri  chiziqning uzunligini  topish talab 
qilinsin. Yassi / egri chiziqning uzunligini s bilan belgilaymiz.
Aw al 
AB
 yoyini uzunligi 
deganda  nimani  tushunishni
nuqtadan 
Oy
  o'qqa  /  chiziq  bilan  kesishganga  qadar  parallel  to'g'ri  chiziqlar 
o'tkazamiz.  Bu holda 
AB
 yoy 
n
 ta bo'lakka bo'linadi. / chiziqning qo'shni bo'linish
— Xk  Xk-V  к —\,П
belgilash kiritamiz. Har bir 
i = 1 
,n
aniqlab  olamiz.  Buning  uchun 
[i
a.b
] kesmani ixtiyoriy ravishda 
a=xo
 
nuqtalar 
yordamida 
л-ta 
bo'lakka 
bo'lamiz.
75-rasm
311

---

nuqtalarini  kesma  (vatar)  bilan  tutashtiramiz  va 
ANiN
2
. -N„.iB
  siniq  chiziq  hosil 
qilamiz.  Shu siniq chiziqning uzunligini /„ bilan belgilaymiz.
Demak,
/„ - 
\Ж
 I+
\7Щ\
 +... + 
\
n
„_,
b
\
 =
 £
мк,
bu yerda 
Alk - Nk_{Nk
  yoyga tiralgan vatar uzunligi.
Siniq  chiziqning  uzunligi 
AB
  yoy  uzunligining  taqribiy  qiymati  bo‘ladi 
(/ *  /„)  Ravshanki, agar [a,6] kesmaning boiinish nuqtalari soni 
n
 ni (qism kesma 
uzunliklari eng kattasining uzunligi nolga intiladigan qilsak) ortirsak, u holda siniq 
chiziqning uzunligi 
AB
 yoy uzunligiga intiladi deb qabul qilish tabbiiydir.
Agar  Я = max Ax.  ->-0  da  /„  chekli  limitga  ega  bo'lsa,  u  holda  bu  limit  /
!«;*]
yoyning uzunligi
 deyiladi, egri chiziq bu holda 
to 'g rilanuvchi
 deb ataladi:
Agar chekli  limit  mavjud  boMmasa,  yoy  uzunligi  mavjud  emas,  chiziq  esa 
to 'g'rilanmaydigan
 deyiladi.
Endi, agar 
f(x)
 funksiya [
a.b
] kesmada uzluksiz hosilaga ega boMsa, u holda /
- to‘g‘rilanuvchi ekanligini  ko‘rsatamiz va uning uzunligini hisoblash formulasini 
keltirib chiqaramiz.
Nk_xNk
  vatar  uzunligini  hisoblaymiz.