T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

а '
  (Я = max Axt ) , 
ya’ni 
D
 figura (egri chiziqli trapetsiya) kvadratlanuvchi va uning yuzi
301

---

о
S = j f ( x ) d x
boM adi.
Agar  yuqoridagi 
D
  figura  quyidan 
y=0
  to'g'ri 
chiziq  o'miga 
у 
= 
f
(x), 
XE.\a\b\)
 
chiziq  bilan
chegaralangan  bo'lib, 
(p{x
) 
funksiya  uzluksiz 
bo'lsa, u holda
О
S = \(f(x)-(p(x))dx
bo'ladi.
12.1-misol. 
y-x2
 va 
x=y1
 chiziqlar bilan chegaralanagan 
67-rasm 
figuraning yuzini toping.
Yechish. Berilgan figura yuqoridan 
у
 = 
*Jx,
  0 
<  
jc
 
< 1  chiziq bilan, quyidan
e s a y ^
, 
0< 
x< 
1  chiziq bilan chegaralangan (67-rasm).  Shuning uchun
1
S = j(>fx - x2)dx =
2xl
'- - x 3 
0  3
1
  -
2
_ i - I  
о’ з  з “ з
Egri chiziqli trapetsiyadagi egri chiziq parametik usulda
( x = 

{ 
(a<,t<,/3)
  berilgan  bo'lsin,  bunda 


 ]
kesmada 
if/ 
(t)
 uzluksiz, 
cp(t)
  esa monoton va uzluksiz 


 hosilaga ega deb faraz 
qilamiz.  O'zgaruvchini almashtirish qoidasiga asosan quyidagiga ega bo'lamiz:
r 
p
s = \ f ( x ) d x
 
= J  
y(t)qf{t)dt
 
(
1
)
a 
a
l x  = acost,
12.2-misol  | 
(0^^2я) ellipsning yuzini hisoblang.
Yechish.  Awal ellipsning chorak qismining yuzini topamiz:
302

---

— 
= ^bsint(-asint)dt
 = 
ab
j
sin: 
tdt
 
= 
—  
j
(1 - cos 2 =  —
f 
f 
j 
2 = — —
4 
n
 
о 
2  0 
2  \
2
Demak, 
S=nab.
f 
x = a(t-sin t),
12.3-misol.  Ox
  o‘qi  va  { 
0< t< 2x
  sikloidaning  bir  arkasi
'y  = fl(l-cos?),
bilan chegaralangan figura yuzini hisoblang. 
Yechish. 
(1) formulaga ko‘ra
2
k
 
2
k
5=|a(l-cos/)a(l-cos/)£// = 
a 1
 J(l- c o s /)2^  =
о 
0
2
k
 
2 x  
2
k
= a 2( J  
dt-
 2 J cos 
tdt +
 j  со82йЛ) = а 2((/-28т/)|о* + 
0 
0 
0
1
 
I 
j
+ — | (1 + 
cos2t)dt) = а 2(2л
 + -(/ + -sin
2t)
2 л
 
, 
) = 
З л а. 
0
2
-§. Qutb koordinatalar sistemasida figuraning yuzini hisoblash
Qutb  koordinatalar  sistemasida  tenglamasi 
r
 = 
r(

  boMgan 
I
  egri  chiziq, 
(p = a
  va 


  nurlar bilan chegaralangan figura yuzini hisoblash talab qilinsin.
Bu  figurani  to‘g‘ri  figura,  ya’ni  boshi 
О
  nuqtada  boMgan 

*
  nur 
(
a<(p*< P
) 
r = r((p)
  chiziqni  ko'pi  bilan  bitta  nuqtada  kesib  oMadi  deb  faraz 
qilamiz.  Shuningdek, 
f  = f{

  funksiyani  [a,/?]  da uzluksiz deb qaraymiz.
Egri chiziqli 
OAB
 sektoming yuzini hisoblash uchun integral yigMndi tuzish, 
keyin esa limitga oMishdan iborat algoritmdan foydalanamiz.
1. 
[«,/?] 
ni 
n
 
ta 
qism 
kesmalarga 
boMamiz 
va
a  = % <
n =/3,  A(pk=

  belgilash  kiritamiz.  U  holda 
OAB
 egri chiziqli sektor 
n
 ta egri chiziqli qism sektorlarga ajraladi.
303

---

2.  Har  bir 
[<рк_Ху<рк],  к = \,п
  qism  kesmadan  ixtiyoriy  ravishda 
6k
  nuqtani 
tanlab olamiz va 
r{(p)
  funksiyaning shu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
rk=r{6k\ k = \,n
3. Har bir 
VpkA,(pk\
  qism kesmada 
r = r(

  funksiyani o‘zgarmas va qiymati
rk = r{6
k)  ga  teng  deb  qaraymiz.  Bu  holda  egri  chiziqli  qism  sektomi  radiusi
rk = r (@k)>
 
markaziy burchagi 
A
 
bo'lgan doiraviy sektor bilan almashtiramiz (68- 
rasm).
68-rasm
Bunday doiraviy sektor yuza  A
Sk = —r 2(Ok)A

  formula bilan hisoblanadi.
Egri chiziqli 
OAB
 sektoming 
S
yuzini taqriban 
n
 ta doiraviy qism sektorlardan 
tuzilgan figura yuziga teng deb qarash mumkin:
(1) 
taqribiy tenglik 
[(pk.v(pk\
  kesmalar qanchalik kichik boMsa, shunchalik
aniq boMadi. (1) ning o'ng tomoni 
~r~{(p)
  uzluksiz funksiya uchun integral yigMndi 
boMadi.
4. 
OAB
  egri  chiziqli  sektoming  yuzi 
S
  deb  integral  yigMndining 
Л
 
-^Odagi limit qiymatini qabul qilamiz:
304

---

s
 = lim 
\Y^r\ek )A

 = I  j  Z-2 (............  
2 a
Shunday qilib, egri chiziqli sektoming yuzi quyidagi formula bilan hisoblanar
ekan.
I f   ,
s  = -\r~(

 2)
12.4-misol. 
r = fl(l + C0S(3)
kardioida bilan  chegaralangan figuraning 
yuzini hisoblang (69-rasm).
Yechish. 
Kardioida  qutb  o‘qiga 
nisbatan  simmetrik,  demak  uning  yuzi 
ABO
  egri  chiziqli  sektor  yuzining 
ikkilanganligiga  teng  boiadi. 
ABO
  egri 
chiziqli  sektor  A* = 6f(l + C0S^)  chiziq, 
(f> = 0,(p = 7T
  nurlar bilan chegarlangan.
(2) formulaga ko‘ra
S = 2-
  J
v7d(p
 = 
a 1
 J(1 + cos
ф)1 d(p~ai1 ^{\
 + 2cosy>+ ^+ 
C° ^ ^ )d(p =
,,3  
„  . 
1  .  „  s 
= я'(—

+  
—
 sin2
r 
3 
2 
= 
—na 
2
12.5-misol. 
r - a^j
cos
2cp
  lemmskata bilan  chegaralangan figuraning yuzini
toping.
Yechish.  yJcos2xp
  funksiya 
[0;27t]  ning  faqatgina
- i - i , 1  va 
4 '4 'J
— -— г  qismlarida  aniqlangan 
.  4  4 *J
(70-rasm). Bu figura qutb boshi va qutb 
o‘qiga nisbatan simmetrik.  Shuning uchun
305

---

I f  
1
S —
 4 —  Ja~ cos 
Icpdcp
 = 
2a'
 —sin 2
(p
л
~ 4 = a 2
0
Mashq va masalalar
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figura yuzini hisoblang: 
12-1. у  = 
sinx
, у  =  2
sinx,x
  =  0, x  =  
-n.
4
12-2.у 
=  x2,  у  = ± ,  у  =
  0,x  =  0,x  =  3.
12-3. 
у2  -  2х  +  1,у —  х
  -  1.
12-4. у  =  - ^ х 2  +  Зх  +  6, 
у  - \хг
  -   х  +  1.
12-5. у  = 
х2,  у
  =  2х,  у  =   х.
12-6. у  =  х3  —  Зх,у  =   х.
12-7. у  = 
х2  -
  2х  +  3,  у  =  Зх  -   1.
12-8. у  = 
arcsinx,
 юс  =   2у.
12-9. ху  =  8, у  =  8х3,у   =  27.
12-10. у2  =  (4  -   х)3,  х  =   0.
12-11. (у  -  х)2  =  х3,  х  =  1.
е:
12-12
fx =  2 + 3cost 
rx  = acost
" (у = 3  + 2 sin 
t.
 
"  '  ly = 
b
 sin 
t.
12-15.Г  " " ‘' Г У   *  =  l ( x > l ) .  
(.y =  8
12-14.  (  X =  3t2,3. 
12-15.(Х  =  8 с о Л
ly =  3t -  t 3’ 
(y =
12-16. 
\X  =   C° S^
 t 6 [0:2тг].
(у = sirrt, 
L 
J
. ^ 
x =  t — sin 
t
 
. . . . .   . 
. . .   ,  .  , 
. 
i
12-17. £  _   ^ _  
cqs
 f  sikloidaning bmnchi arkasi va  у  = -  to‘g‘ri chiziq bilan.
(0  <  
x
  <  27r). 
12-18. r  =  5 
cos

12-19. r  =   V3sin
12-20. r  =   3(1  + 
sincp).
  12-21. r  = 
2 js in  2

12-22. r  = 
acos2cp,a  >
  0 atirgulning bir yopirog‘i bilan. 
12-23. r  =  2 a (l -cos
  0 kardioida bilan.
12-24. r = 2  4- cos
306

---

3.1. Ko'ndalang kesimi ma’lurn boMgan jism hajmini hisoblash.
Aytaylik,  yopiq  sirt bilan chegaralangan T jism berilgan  bo'lib,  uning biror 
to'g'ri  chiziqqa,  masalan,  abssissalar  o'qi 
Ox
  ga,  perpendikulyar  tekislik  bilan 
ixtiyoriy kesiminingyuzi ma’lum bo'lsin. Bunday kesim 
ко ndalang kesim
 deyiladi. 
Ko'ndalang  kesim  uning 
Ox
  o'q  bilan  kesishish  nuqtasining  abssissasi 
x
  bilan 
aniqlanadi.
Umuman olganda, 
x
 o'zgarishi bilan ko'ndalang kesim yuzi 
S
o'zgaradi, ya’ni 
x o'zgaruvchining  funksiyasi  bo'ladi.  Uni 
S(x)
  bilan  belgilaymiz. 
S(x)
  funksiyani 
[a,6]  kesmada  uzluksiz  deb  qaraymiz,  bu yerda 
a
 va 
b
  berilgan  T jismning cheti 
(chegaraviy) kesimlari abssissalari (71-rasm).
3-§. Fazoviy jism hajmini hisoblash
71-rasm
T jismning 
V
 hajmini  hisoblash  uchun  integral  yig'indini  tuzish  va  limitga 
o'tishdan iborat algoritmdan foydalanamiz.
1 
[a,b]
  kesmani 
a = x0

  nuqtalar yordamida 
n
 ta qism
kesmalarga ajratamiz. 
Axk = xk
 - 
xM ,
  Я = max 
Ахк,  k = l,n
  belgilashlar kiritamiz.
Bo'lish  nuqtalari 
xk
  orqali 
Ox
  o'qqa  perpendikulyar  tekisliklar  o'tkazamiz. 
x = xk  к
 = l,/i  tekisliklar oilasi Tjismni har biriningqalinligi 
Axk,  k = \,n
  bo'lgan 
qatlamlarga ajratadi (72-rasm).
307

---

2.  Har  bir  [х*_„хД 
к = \,п
  qism  kesmadan  ixtiyoriy  ravishda 
nuqta 
tanlab olamiz va 
S(x)
 funksiyaning shu nuqtadagi 
S(%k)
  qiymatini hisoblaymiz.
3.  Har  bir 
[хы ,хк]
  qism  kesmada 
S=S(x)
  funksiya  o  zgarmas  va  qiymati 
S(gk)
  ga teng deb faraz qilamiz. U holda T jismning har bir qatlamida asosi 
S(£k) 
va yasovchisi 
Ox
  o‘qqa  paralel  to‘g‘ri  silindmi  qarash  mumkin.  Bu  qism  to‘g‘ri 
silindming balandligi  Axt , hajmi 
AVk = S (£k)
Ax*  formula bilan hisoblanadi.
72-rasm
T jismning hajmi