Nazariy fizika kursi

4.6 
M aydon  potensiallari  uchun 
tenglamalar
Elektromagnit  maydon  potensiallari  uchun  tenglamalarni  keltirib 
chiqaramiz.  Bulling  uchun  elektr  va  magnit  maydon  kuchlanganliklari- 
ning  potensiallar  orqali  ifodalarini
1 ЭА
H  =   rot A , 
E = — grad;/?----------
с  at
Maksvell-Lorentz  tenglamalaridan  (4.40)  ga  qo'yamiz:
, 
4tt  . 
1  d  (  
, 
1  0 A \
rot rot A   —  *  -j "t~ 
—
-   I 
grad tp------- —  
.
c. 
c o t   \ 
с  at  J
Bu  yerda  rot rot A   =   grad div A   —  Д Л   ni  hisobga  olib,  yuqoridagi 
tenglamani  qayta  yozamiz:
. 
1  d2A  
An  . 
(  
1  <%Л 
. 
.
A A - ^ - W
^ - T 1 +  gI^ ( d" ' A   +   - c m )   ■ 
(4-64)
Shunday  hisoblarni  (4.41)  tenglama  ustida  bajaramiz:
1  0
H— —  div A   =   —Anp  . 
(4.65)
С  Cst
104

---

I  I  (> 1)  va  (4.65)  elektromagnit  maydon  potensiallari  A,   p   uclmii  iiniq 
liiiiislii  lozirn  bo'lgan  tenglamalar  sistemasini  beradi.
Bu  tenglamalar  o'zaro  bo'lganligi  uchun  ulardan  foydalanish 
110
- 
Hiilnyliklar  tug'diradi.  M a’lumki.  potensiallarni  tanlashda  ma’lum  da- 
ia|H(la  ixtiyoriylik  mavjud  (maydonning  kalibrovka  invariantligi).  Ixti- 
viniylik  ko'lami  (3.49)  va  (3.51)  almashtirishlar  bilan  aniqlanishi  bizga 
iim'lum.  U  yerdagi  potensiallarni  kalibrovkalovchi  'ф(гЛ)  funksiyani
■
 Imnday  tanlayinizki,  natijada  qiyidagi  shart  bajarilsin:
div A   +  
=   0  . 
(4.66)
с  at
Maydon  potensiallari uchun  yozilgan  bu differensial  munosabat  Lorens 
ilinrti,  unga  mos  kelgan  kalibrovka  esa  -  Lorens  kalibrovkasi  deyiladi. 
SIiu  shartga  asosan  (4.64)  va  (4.65)  tenglamalar
.  . 
1  д 2А  
47Г  .
l ? ~ d V = ~  ~ J  1 
(4,16)
1  d2ip
=   ~ ^ p   . 
(4 -68)
kn'rinishga o ‘tadi.  Bu tenglamalarning har biri  Dalamber tenglamasidir.
Elektromagnit  maydon  potensiallari  uchun  topilgan  tenglamalar 
Maksvell-Lorentz tenglamalariga butunlay ekvivalent. Uzluksizlik teng- 
lanuisini  qanoatlantiruvchi  zaryad  zichligi  p { r ,t )  va  tok  zichligi  j ( r , t )
I>«-t Uganda  (4.67)  va  (4.68)  tenglamalarni  integrallab  vektor  va  skalyar 
piitcnsiallanii  aniqlash  mumkin.  Maydon  kuchlanganliklari  esa  (3.19) 
vu  (3.20)  ifodalar  bilan  aniqlanadi.
Ba’zi  masalalarni  o'rganishda  Lorens  kalibrovkasidan  boshqa  kali- 
hmvkadan  foydalanish  qulay  bo'ladi.  Masalan,  Lorens  shartining  o'r- 
i\\ytn
d iv A   =   0 
(4.69'<
■•linrtni  olish  mumkin.  Vektor  potensial  bo'ysunuvchi  bu  differensial 
munosabat  Kulon  sharti  va bu  bilan  bog'langan  kalibrovka  Kulon  kali- 
Imivkasi  deyiladi.  Bu  holda  (4.64)  va  (4.65)  tenglamalar  quyidagicha 
v< i/iladi:
1  d2A  
. 
1 
Op 
.
A A ~ ^ ~ a W  
=  
~ T 3 + -c SI Rda i   ' 
{ 4 Щ
A p   =   —Aixp  . 
(4.71)
105

---

Koiam izki,  bu  kalibrovkada skalyar potensial  elektrostatik maydon po­
tensiali  kabi  aniqlanadi.  Lorenz  yoki  Kulon  kalibrovkasiga  b o ;ysungan 
potensiallar  yordamida  topilgan  maydon  kuchlanganliklari  E  va  H  bir 
xil  b o ‘ladi.
Maydon potensiallarini  aniqlovchi  Dalamber tenglamalarining to ‘rt 
oichovli  ko‘rinishda  yozish  uchun  Maksvell-Lorentz  tenglamalarining 
ikkinchi juftining 4-o‘lchovli ko‘rinishi  (4.37)  ni potensiallar orqali yoza- 
miz:
Bu  yerda  birunchi  hadni  Lorenz  shart,ining  t o i t   oichovli  shakli
bilan  taqqoslab,  u  nolga  teng  ekanligini  ko‘ramiz.  Natijada  quyidagi 
tenglama  hosil  boiadi:
Bu  potensiallar  uchun  (4.67)  va  (4.68)  tenglamalarning  to'rt  oichovli 
koiinishini  beradi.