Nazariy fizika kursi

2.1 
Erkin  m od d iy  nuqtaning 
Lagranj  funksiyasi
Relyativistik  mexanikani  o ‘rganishda  har  qanday  k o‘rinishdagi  ha- 
rakat  qonunlarini  o ‘rganishda  universal  b o ig a n   variatsion  prinsip  -  eng 
qisqa  ta ’sir  prinsipini  asos  qilib  olinadi.  Bu  prinsipga  asosan:
H a r  qanday  sistem a   uchun  A   va  В   dunyo  nuqtalari  orasida
 
olingan  shunday  integral  mavjudki,  haqiqiy  harakat  uchun  и
 
minimurnga  ega,  variatsiyasi  esa  nolga  teng.
 
Bu  integral  ta ’sir 
integrali  deb  ataladi.
Tashqi  kuchlar  ta ’sirida b o im a g a n  erkin m oddiy  nuqta uchun ta'sir 
integralini  aniqlaymiz.  Bunda  nisbiylik  prinsipidan  kelib  chiqadigan 
quyidagi  umumiy  qoidalarni  asos  qilib  olamiz:
41

---

1.  Ta’sir  integrali  sanoq  sistemalarga  bog'liq  bo'lmagan  invariant  -
skalyar  kattalik  bo'lishi  kerak;
2.  Birinchi  qoidaga  asosan  integral  ostidagi funksiya  ham  invariant 
bo'lishi  kerak;
3.  Integral  bir 
kaiTali 
bo'lganligi  uchun,  uning  ostida  birinchi  tar­
tibli  differensial  turishi  kerak.
Bu  talablarga javob  beruvchi  vaqt  va  fazoning  birjinsliligini  va  fazoning 
izotropligi  aks  ettiruvchi  bitta  kattalik  bizga  m a  lum,  u  ham  b o is a , 
intervalning  diffensialidir.  Shunday  qilib,  yuqoridagi  fikrlarni  hisobga 
olib  erkin  m oddiy  nuqta  uchun  ta ’sir  integralini  quyidagi  ko'rinishda 
yozish  mumkin
Bu  yerda  a  proporsionallik  koeffitsiyenti  b o'lib ,  uning  m a’nosi  keyin 
ochiladi.  Integral  m oddiy  nuqtaning  t\  va  tj  vaqt  m om entidagi  ikkita 
holatini  aniqlovchi  a  va  b  voqealar  orasidagi  haqiqiy  harakatga  mos 
keluvchi  dunyo  chizig'i  b o'yich a   olinadi.  Birinchidan,  har  ikkala  voqea 
bir  m oddiy  nuqta  bilan  bog'langanligi  uchun  ular  orasidagi  interval 
vaqtsim on,  ya ’ni musbat  bo'ladi.  Ikkinchidan,  integral 4-fazodagi to'g'ri 
chiziq  bo'yich a  olinganligi  uchun  u  minimumga  ega  bo'lm ayd i  aksincha 
maksimal  qiym atga  ega  bo'ladi.  Shuning  uchun  integral  oldidagi  minus 
ishorasi  ta ’sir  integralining  m inimumga  ega  bo'lishini  ta ’minlab  beradi.
T a ’sir  integrali  (2.1)  ni  quyidagi  ko'rinishda  yozib  olamiz:
11
ko'rinishda  yozamiz.  v  m oddiy  nuqtaning  tezligi.  (2.2)  va  (2.3)  ifo- 
dalarni  taqqoslab  Lagranj  funksivasi  uchun  quyidagi  ifodani  olamiz:
ь
(
2
.
1
)
a
S   =   —a  
С  dt. 
(2.2)
fi
Bu  yerda  С  lagranj  funksiyasi  deyiladi.  Interval  uchun  (1.16)  ifodadan 
foydalanib  ta ’sir  integralini
(2.3)
(2.4)
42

---

p]ndi  proporsionallik  koeffitsiyenti  o:  ning m a:nosini  ocham iz.  M od ­
diy  nuqtaning  tezliginni  v 
с  deb  faraz  qilamiz.  Bu  holda  (2.4)  bilan 
;uii(ilangan  Lagranj  funksiyasi  klassik mexanikadagi  Lagranj  funksiyasi- 
ga  o ‘ tishi  kerak.  (2.4)  ifodani  v'2/c2  ning  darajalari  b o ‘yicha  qatorga 
yoyib 
V
2
 
ga  proporsional  had  bilan  chegaralanamiz:
£ « - a c + ^ .  
(2.5)
2c
Hu  yerda  birinchi  had  o ‘zgarmas  b o iga n lig i  uchun  uni  mexanika  kur- 
sidan  bizga  m a’lum  bo'lgan  Lagranj  funksiyasining  xossasiga  binoan 
tushirib  qoldiram iz.  Ikkinchi  hadni  klassik  mexanikadagi  erkin  m oddiy 
nuqtaning  Lagranj  funksiyasi
m v 2 
____.
C-ki  =  
(2-6)
bilan  taqqoslab  o;  =   m e  ekanligini  aniqlaymiz.
Shunday  qilib.  relyativistik  erkin  zarrachaning  ta ’sir  integrali
S   =   —m e j   ds  =   —m e  /  
1 ----- j   dt, 
(2-7)
a
agraiij  funksiyasi
ifodalar  bilan  aniqlanishini  topdik.