Partial differential equations

Index
ADI, 305
adjoint opeator, 257
Advection, 37
advection diffusion equation, 5
advection equation, 291
Aitken’s method, 337
amplification factor, 293
approximate factorization, 307
artificial viscosity, 321
associated Legendre equation, 175
associated Legendre polynomials, 177
averaging operator, 282
backward difference operator, 282
Bassett functions, 166
Bessel functions, 160
Bessel’s equation, 160
best approximation, 97
binary search, 334
bisection, 334, 340
boundary conditions of the third kind, 128
bracketing, 338
Bracketing methods, 334
canonical form, 15, 16, 19, 20, 23, 26, 30,
33
causality principle, 248
centered difference, 282
CFL condition, 317, 318
characteristic curves, 15, 19, 20
characteristic equations, 20
characteristics, 16, 19
chemical reactions, 121
Circular Cylinder, 164
circular membrane, 159
Circularly symmetric, 122
coefficients, 89
compact fourth order, 282
compatible, 292
conditionally stable, 293
confluent hypergeometric functions, 138, 139
conservation-law form, 54
conservative form, 54
consistent, 292
Convergence, 98
convergence, 89
convergent, 294
Convolution theorem, 271
convolution theorem, 207, 213
Convolution theorem for Fourier cosine trans-
form, 213
Convolution theorem for Fourier sine trans-
form, 213
Coriolis parameter, 138
Courant number, 317
Crank-Nicholson, 298, 302, 305, 306
curved boundary, 284
cylindrical, 148
d’Alembert’s solution, 59
delta function, 249
diffusion, 322
diffusion-convection equation, 210
Dirac delta function, 231, 232
Dirichlet, 7
Dirichlet boundary conditions, 149
dispersion, 294, 322
dissipation, 321
divergence form, 54
domain of dependence, 60
domain of influence, 60
DuFort Frankel, 297
DuFort-Frankel scheme, 292
eigenfunctions, 77, 84, 186
eigenvalues, 77, 84
elliptic, 4, 15, 17, 36
ELLPACK, 309
equilibrium problems, 15
error function, 205
Euler equations, 324
Euler explicit method, 320
Euler’s equation, 115, 174
even function, 65
explicit scheme, 295
finite difference methods, 290
finite string, 276
first order wave equation, 37
five point star, 308
fixed point, 336, 338
fixed point method, 342
fixed point methods, 334
forced vibrations, 190
forward difference operator, 282
Fourier, 293
Fourier cosine series, 100
Fourier cosine transform, 211
Fourier method, 317
344

Fourier series, 86, 89
Fourier sine series, 100
Fourier sine transform, 211
Fourier transform, 199, 200, 221
Fourier transform method, 199
Fourier transform of spatial derivatives, 207
Fourier transform of time derivatives, 207
Fredholm alternative, 236
Fredholm integral equation, 229
fundamental period, 65, 86
Gauss-Seidel, 309
Gauss-Seidel method, 310
Gaussian, 200, 204
generalized Fourier series, 123
Gibbs phenomenon, 91, 116
Green’s formula, 132, 257
Green’s function, 221, 225, 228, 232, 245
Green’s theorem, 237
grid, 290
grid aspect ratio, 311
heat conduction, 5
heat equation, 4
heat equation in one dimension, 295
heat equation in two dimensions, 305
heat equation on infinite domain, 255
heat equation on infinite domains, 268
heat flow, 122
Heaviside function, 232
Helmholtz equation, 150, 152, 159
Helmholtz operator, 261
homogeneous, 2
hybrid schemes, 334
hyperbolic, 4, 15–17, 19, 20, 32
hyperbolic Bessel functions, 166
implicit scheme, 299
influence function, 204
inhomogeneous, 2
inhomogeneous boundary conditions, 183
inhomogeneous wave equation, 190
integrating factor, 226
Intermediate Value Theorem, 334
inverse Fourier transform, 200
inverse transform, 270
inviscid Burgers’ equation, 324
irreducible, 310
irregular mesh, 284
iterative method, 309
Iterative solution, 310
Jacobi, 309
Jacobi’s method, 310
kernel, 229
Korteweg-de Vries equation, 210
Kummer’s equation, 139
lagging phase error, 323
Lagrange’s identity, 132, 226
Lagrange’s method, 226
Laguerre polynomial, 139
Laplace transform, 270
Laplace transform of derivatives, 271
Laplace’s Equation, 307
Laplace’s equation, 4, 14, 114, 116, 141,
148, 290
Laplace’s equation in a half plane, 209
Laplace’s equation in spherical coordinates,
173
Lax equivalence theorem, 294
Lax method, 317, 318, 325, 328
Lax Wendroff, 327, 332
leading phase error, 323
least squares, 97
Legendre polynomial, 141
Legendre polynomials, 176
Legendre’s equation, 175
linear, 1
linear interpolation, 335
marching problems, 15
matrix method, 317
Maxwell’s reciprocity, 228, 252
mesh, 290
mesh Reynolds number, 331
mesh size, 291
method of characteristics, 37, 59, 221
method of eigenfunction expansion, 194
method of eigenfunctions expansion, 183
modes, 77
modified Bessel functions, 166
modified Green’s function, 237, 263
Modified Regula Falsi Algorithm, 335
Neumann, 7
Neumann boundary condition, 152
Neumann functions, 160
Newton’s law of cooling, 8
Newton’s method, 337, 344
nine point star, 308
nonhomogeneous, 121
nonhomogeneous problems, 183
nonlinear, 2
nonlinear equations, 334
345

nonuniform rod, 121
numerical flux, 327
numerical methods, 290
numerical solution, 334
odd function, 65
one dimensional heat equation, 221
one dimensional wave equation, 275
order of a PDE, 1
orthogonal, 87, 123
orthogonal vectors, 87
orthogonality, 87
orthogonality of Legendre polynomials, 176
parabolic, 4, 15, 17, 22, 29, 36
Parallelogram Rule, 71
partial differential equation, 1
PDE, 1
period, 65, 86
periodic, 86
Periodic boundary conditions, 8
periodic forcing, 191
periodic function, 65
perturbed, 141
phase angle, 318
physical applications, 4
Picard, 338
Picard iteration, 336
piecewise continuous, 86
piecewise smooth , 86
Poisson’s equation, 4, 194, 242, 266
principle of superposition, 246
pulse, 231
quadratic convergence, 337
quasilinear, 2, 44
Rayleigh quotient, 123, 135, 156
Rayleight quotient, 160
Regula Falsi, 335
regular, 123
regular Sturm-Liouville, 128
Residue theorem, 270
resonance, 191
Runge-Kutta method, 47
second kind, 229
second order wave equation, 59
separation of variables, 74, 86, 121, 149,
152, 221
series summation, 109
seven point star, 309
shallow water equations, 138
singular Sturm-Liouville, 125
SOR, 310
source-varying Green’s function, 258
spectral radius, 310
spherical, 148
stability, 293
stable, 293
steady state, 15, 225
Steffensen’s algorithm, 337
Steffensen’s method, 338
stopping criteria, 334
Sturm - Liouville differential equation, 122
Sturm-Liouville, 156, 225
Sturm-Liouville differential equation, 123
Sturm-Liouville problem, 123
successive over relaxation, 310
successive over relaxation (SOR), 309
Taylor series, 281
Term by Term Differentiation, 107
Term by Term Integration, 109
Thomas algorithm, 285
translation property, 260
truncation error, 291
two dimensional eigenfunctions, 195
Two Dimensional Heat Equation, 305
unconditionally stable, 293
unconditionally unstable, 293
uniform mesh, 283
upstream differencing, 320
upwind differencing, 320
variation of parameters, 187
viscous Burgers’ equation, 324
von Neumann, 293
Wave equation, 4
wave equation, 5
wave equation on infinite domain, 248
wave equation on infinite domains, 268
weak form, 54
346