Partial differential equations

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
MA 3132 LECTURE NOTES
B. Neta Department of Mathematics
Naval Postgraduate School
Code MA/Nd
Monterey, California 93943
October 10, 2002
c

 1996 - Professor Beny Neta
1

Contents
1
Introduction and Applications
1
1.1
Basic Concepts and Definitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Conduction of Heat in a Rod
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
A Vibrating String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.7
Diffusion in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
Classification and Characteristics
15
2.1
Physical Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Classification of Linear Second Order PDEs
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Canonical Forms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
Parabolic
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.3
Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4.1
Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4.2
Parabolic
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4.3
Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.5
Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6
General Solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3
Method of Characteristics
37
3.1
Advection Equation (first order wave equation)
. . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.1
Numerical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2
Quasilinear Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.1
The Case S = 0, c = c(u)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.2
Graphical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2.3
Fan-like Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2.4
Shock Waves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3
Second Order Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.1
Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3.2
Semi-infinite String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.3.3
Semi Infinite String with a Free End . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.3.4
Finite String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.3.5
Parallelogram Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4
Separation of Variables-Homogeneous Equations
73
4.1
Parabolic equation in one dimension
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.2
Other Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.3
Eigenvalues and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
i

5
Fourier Series
85
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.2
Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.3
Computation of Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.4
Relationship to Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.5
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.6
Fourier Cosine and Sine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.7
Term by Term Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8
Term by Term Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9
Full solution of Several Problems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6
Sturm-Liouville Eigenvalue Problem
120
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2
Boundary Conditions of the Third Kind
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3
Proof of Theorem and Generalizations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4
Linearized Shallow Water Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5
Eigenvalues of Perturbed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7
PDEs in Higher Dimensions
147
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2
Heat Flow in a Rectangular Domain
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3
Vibrations of a rectangular Membrane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4
Helmholtz Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5
Vibrating Circular Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.6
Laplace’s Equation in a Circular Cylinder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.7
Laplace’s equation in a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8
Separation of Variables-Nonhomogeneous Problems
179
8.1
Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2
Method of Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.3
Forced Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3.1
Periodic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.4
Poisson’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4.1
Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4.2
Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9
Fourier Transform Solutions of PDEs
195
9.1
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2
Fourier Transform pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3
Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.4
Fourier Transform of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.5
Fourier Sine and Cosine Transforms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.6
Fourier Transform in 2 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
ii

10 Green’s Functions
217
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.2 One Dimensional Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.3 Green’s Function for Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4 Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.5 Nonhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.6 Fredholm Alternative And Modified Green’s Functions . . . . . . . . . . . . 232
10.7 Green’s Function For Poisson’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.8 Wave Equation on Infinite Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.9 Heat Equation on Infinite Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.10Green’s Function for the Wave Equation on a Cube . . . . . . . . . . . . . . 256
11 Laplace Transform
266
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.2 Solution of Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12 Finite Differences
277
12.1 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.2 Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.3 Irregular Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
12.4 Thomas Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.5 Methods for Approximating PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.5.1 Undetermined coefficients
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.5.2 Integral Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.6 Eigenpairs of a Certain Tridiagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13 Finite Differences
286
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
13.2 Difference Representations of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
13.3 Heat Equation in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.3.1 Implicit method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.3.2 DuFort Frankel method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.3.3 Crank-Nicholson method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.3.4 Theta (θ) method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.3.5 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.4 Two Dimensional Heat Equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.4.1 Explicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.4.2 Crank Nicholson
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.4.3 Alternating Direction Implicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
13.5 Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.5.1 Iterative solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.6 Vector and Matrix Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.7 Matrix Method for Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.8 Derivative Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
iii

13.9 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.9.1 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.9.2 Euler Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.9.3 Upstream Differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
13.10Inviscid Burgers’ Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13.10.1 Lax Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
13.10.2 Lax Wendroff Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
13.11Viscous Burgers’ Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
13.11.1 FTCS method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
13.11.2 Lax Wendroff method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
14 Numerical Solution of Nonlinear Equations
330
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
14.2 Bracketing Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
14.3 Fixed Point Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
14.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
iv

List of Figures
1
A rod of constant cross section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Outward normal vector at the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3
A thin circular ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4
A string of length L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5
The forces acting on a segment of the string . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6
The families of characteristics for the hyperbolic example . . . . . . . . . . .
21
7
The family of characteristics for the parabolic example . . . . . . . . . . . .
24
8
Characteristics t =
1
c
x
−
1
c
x(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
9
2 characteristics for x(0) = 0 and x(0) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
10
Solution at time t = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
11
Solution at several times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
12
u(x
0
, 0) = f (x
0
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
13
Graphical solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
14
The characteristics for Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
15
The solution of Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
16
Intersecting characteristics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
17
Sketch of the characteristics for Example 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
18
Shock characteristic for Example 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
19
Solution of Example 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
20
Domain of dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
21
Domain of influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
22
The characteristic x
− ct = 0 divides the first quadrant . . . . . . . . . . . .
62
23
The solution at P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
24
Reflected waves reaching a point in region 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
25
Parallelogram rule
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
26
Use of parallelogram rule to solve the finite string case
. . . . . . . . . . . .
70
27
sinh x and cosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
28
Graph of f (x) = x and the N
th
partial sums for N = 1, 5, 10, 20 . . . . . . .
90
29
Graph of f (x) given in Example 3 and the N
th
partial sums for N = 1, 5, 10, 20 91
30
Graph of f (x) given in Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
31
Graph of f (x) given by example 4 (L = 1) and the N
th
partial sums for
N = 1, 5, 10, 20. Notice that for L = 1 all cosine terms and odd sine terms
vanish, thus the first term is the constant .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
32
Graph of f (x) given by example 4 (L = 1/2) and the N
th
partial sums for
N = 1, 5, 10, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
33
Graph of f (x) given by example 4 (L = 2) and the N
th
partial sums for
N = 1, 5, 10, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
34
Sketch of f (x) given in Example 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
35
Sketch of the periodic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
36
Sketch of the Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
37
Sketch of f (x) given in Example 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
38
Sketch of the periodic extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
v

39
Graph of f (x) = x
2
and the N
th
partial sums for N = 1, 5, 10, 20 . . . . . . 101
40
Graph of f (x) =
|x| and the N
th
partial sums for N = 1, 5, 10, 20 . . . . . . 102
41
Sketch of f (x) given in Example 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
42
Sketch of the Fourier sine series and the periodic odd extension
. . . . . . . 103
43
Sketch of the Fourier cosine series and the periodic even extension . . . . . . 103
44
Sketch of f (x) given by example 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
45
Sketch of the odd extension of f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
46
Sketch of the Fourier sine series is not continuous since f (0)
= f(L) . . . . . 104
47
Graphs of both sides of the equation in case 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
48
Graphs of both sides of the equation in case 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
49
Bessel functions J
n
, n = 0, . . . , 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
50
Bessel functions Y
n
, n = 0, . . . , 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
51
Bessel functions I
n
, n = 0, . . . , 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
52
Bessel functions K
n
, n = 0, . . . , 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
53
Legendre polynomials P
n
, n = 0, . . . , 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
54
Legendre functions Q
n
, n = 0, . . . , 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
55
Rectangular domain
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
56
Plot G(ω) for α = 2 and α = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
57
Plot g(x) for α = 2 and α = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
58
Domain for Laplace’s equation example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
59
Representation of a continuous function by unit pulses
. . . . . . . . . . . . 227
60
Several impulses of unit area
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
61
Irregular mesh near curved boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
62
Nonuniform mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
63
Rectangular domain with a hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
64
Polygonal domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
65
Amplification factor for simple explicit method . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
66
Uniform mesh for the heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
67
Computational molecule for explicit solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
68
Computational molecule for implicit solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
69
Amplification factor for several methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
70
Computational molecule for Crank Nicholson solver . . . . . . . . . . . . . . 295
71
Numerical and analytic solution with r = .5 at t = .025 . . . . . . . . . . . . 297
72
Numerical and analytic solution with r = .5 at t = .5 . . . . . . . . . . . . . 297
73
Numerical and analytic solution with r = .51 at t = .0255 . . . . . . . . . . . 298
74
Numerical and analytic solution with r = .51 at t = .255 . . . . . . . . . . . 299
75
Numerical and analytic solution with r = .51 at t = .459 . . . . . . . . . . . 299
76
Numerical (implicit) and analytic solution with r = 1. at t = .5 . . . . . . . . 300
77
Computational molecule for the explicit solver for 2D heat equation . . . . . 302
78
Uniform grid on a rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
79
Computational molecule for Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
80
Amplitude versus relative phase for various values of Courant number for Lax
Method
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
81
Amplification factor modulus for upstream differencing . . . . . . . . . . . . 319
vi

82
Relative phase error of upstream differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
83
Solution of Burgers’ equation using Lax method . . . . . . . . . . . . . . . . 322
84
Solution of Burgers’ equation using Lax Wendroff method
. . . . . . . . . . 324
85
Stability of FTCS method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
86
Solution of example using FTCS method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
vii

Overview MA 3132
PDEs
1. Definitions
2. Physical Examples
3. Classification/Characteristic Curves
4. Mehod of Characteristics
(a) 1
st
order linear hyperbolic
(b) 1
st
order quasilinear hyperbolic
(c) 2
nd
order linear (constant coefficients) hyperbolic
5. Separation of Variables Method
(a) Fourier series
(b) One dimensional heat & wave equations (homog., 2
nd
order, constant coefficients)
(c) Two dimensional elliptic (non homog., 2
nd
order, constant coefficients) for both
cartesian and polar coordinates.
(d) Sturm Liouville Theorem to get results for nonconstant coefficients
(e) Two dimensional heat and wave equations (homog., 2
nd
order, constant coeffi-
cients) for both cartesian and polar coordinates
(f) Helmholtz equation
(g) generalized Fourier series
(h) Three dimensional elliptic (nonhomog, 2
nd
order, constant coefficients) for carte-
sian, cylindrical and spherical coordinates
(i) Nonhomogeneous heat and wave equations
(j) Poisson’s equation
6. Solution by Fourier transform (infinite domain only!)
(a) One dimensional heat equation (constant coefficients)
(b) One dimensional wave equation (constant coefficients)
(c) Fourier sine and cosine transforms
(d) Double Fourier transform
viii