Мазмуны: тил ҳӘМ Әдебият

Eng sodda I tartibli differensial tenglama.
[5]Bu tenglama 
y
′=
f
(
x
) (1) 
ko‘rinishda bo‘lib, unda 
f
(
x
) ma’lum bir berilgan funksiyani ifodalaydi. Bu tenglama oldin ko‘rib 
o‘tilgan boshlang‘ich funksiyani topish masalasini ifodalaydi va shu sababli uning umumiy 
yechimi aniqmas integral yordamida 


dx
x
f
y
)
(
(1
*
) 
formula bilan aniqlanadi. 
Masalan,
C
x
x
dx
x
x
y
x
x
y










)
2
sin
(
2
1
)
2
cos
(
2
cos
2
. 
Ba’zi hollarda berilgan differensial tenglama u yoki bu usulda (1) ko‘rinishga keltirish 
orqali integrallanadi va bunga kelgusida bir necha marta ishonch hosil etamiz. 
O‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama.
Bu tenglama 
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(









dx
x
N
dy
y
M
y
M
x
N
dx
dy
y
M
x
N
y
(2) 
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu tenglamada 
x
va 
y
o‘zgaruvchilar bir-biridan ajralgan holda
qatnashganligi uchun (birinchi qo‘shiluvchida faqat 
y
, ikkinchisida esa faqat 
x 
ishtirok etmoqda) 
u o‘zgaruvchilari ajralgan tenglama deyiladi. Uning umumiy yechimini topish uchun (2) 
tenglikni hadma-had integrallaymiz: 
C
x
d
x
N
dy
y
M




)
(
)
(
. (2
*
) 
Bu integrallarni hisoblab, (2) tenglamaning umumiy yechimini aniqlaymiz. 
Masalan, 












C
e
y
y
dx
dx
e
ydy
y
dx
e
ydy
y
x
x
x
)
1
ln
2
(
4
0
ln
0
ln
2
. 

---

89 
Bunda oxirgi tenglik berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini oshkormas, ya’ni 
F
(
x
,
y
)=
C
ko‘rinishda ifodalaydi. Oldingi misolda esa umumiy yechim oshkor, ya’ni 
y
=
φ
(
x
,
C
) 
ko‘rinishda topilgan edi. 
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama.
Bu tenglama 
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1


dx
x
N
y
M
dy
x
N
y
M
(3) 
ko‘rinishda bo‘ladi. (3) tenglamani integrallash uchun uni 
M
2
(
y
)≠0, 
N
1
(
x
)≠0 shartda 
M
2
(
y
)
N
1
(
x
) 
ifodaga hadma-had bo‘lamiz va natijada oldin ko‘rib o‘tilgan ushbu o‘zgaruvchilari ajralgan 
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1


dx
x
N
x
N
dy
y
M
y
M
differensial tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu yerdan (3) tenglamaning umumiy yechimi uchun 




C
dx
x
N
x
N
dy
y
M
y
M
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
(3
*
) 
formulaga ega bo‘lamiz. 
Misol sifatidaushbu Koshi masalasini yechamiz :[4] 
(1+
х
2
)
dy+уdx=
0 ,
y
(0)=1 . 
Bu masaladagi tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘ladi. Bunda 
1+
x
2
≠0 bo‘lgani uchun
y
≠0 deb olish kifoya. Bu shartda, berilgan tenglamani 
y
(1+
x
2
) ifodaga 
bo‘lish orqali, umumiy yechimni quyidagicha topamiz: 
C
x
e
y
C
x
y
C
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy















arctg
2
2
arctg
ln
1
0
1
. 
Endi, boshlang‘ich shartdan foydalanib (
x
=0, 
y
=1), 
C
o‘zgarmas son qiymatini 
aniqlaymiz: 
0
1
1
0
arctg






C
e
e
C
C
. 
Demak, berilgan Koshi masalasining yagona yechimi 
y
=
e
arctg
x
funksiyadan iborat 
bo‘ladi. 
Bu mavzusining amaliyotga tadbig`ini o`rganib chiqaylik. Amaliy tadbig`ga biz odatda 
bunday muammoni oldik: uchuvchi raketa o'zgaruvchan massasi va parvoz tezligi o'rtasidagi 
aloqani o'rnatish. Bunda 
- raketaning massasining miqdori ortishi, 
chiqindilarni 
ko'paytirishdan keyin qabul qilish tezligi, bulardan ushbu tenglik hosil bo`ladi 
.
harakat natijasida chiqarilagan gazlar miqdori.(
gazlarning otilgan 
qismining tezligi; “minus” belgisi qo'yiladi chunki massa 
kamayadi). 
Tezlikni saqlab qolish qonuniga asosan differensial tenglama olinadi. 
Ushbu tenglama o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo`lib bu tenglamani 
yechimini talabalar juda oson hisoblashadi.
uchun parvoz oldidan raketa massasi 
deylik. Shundan so`ng (4) tenglamadan Siolskovskiy tenglamasini tuzamiz.
(5) tenglama raketaning uchish tezligini ifodalaydi. Shunisi e'tiborga loyiqki,bu faqat vakumda 
va tortishishsiz harakat qilish uchun javob beradi. Havoning qarshiligi va tortishish kuchining 
tobora ortishi differensial tenglamani yanada murakkablashtiradi.
Yuqorida bo`lajak injenerlarning muhandislik fikrlashlari va kreativ qobilyatlarini 
shakllantirishda hamda kasbiy kompetensiyalarini rivojlantirishda oliy matematika fanining 
amaliy tadbig`i juda muhim ekanligi ko`rasatib berildi.