Iii – bob. Son tushunchasini kehgaytirish. Butun sonlar

Download 404,9 Kb.

Pdf ko'rish

bet	6/9
Sana	18.11.2019
Hajmi	404,9 Kb.
	#26345

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bog'liq
butun nomanfiy sonlar. manfiy sonlarning kiritilishi. butun sonlarning geometrik interpretatsiyasi

3.4.5. Musbat haqiqiy sоnlar to‘plamining aksiоmatikasi.
O‘z- o‘zini nazоrat qilish uchun savоllar

Ta’rif:

...

dan farqi, k

yingi raqamlari k

tma-k

t 9 raqamlari bilan

tugamagan ch

ksiz o‘nli kasrlar to‘plami musbat haqiqiy s

nlar to‘plami d

yiladi

+

R bilan b

lgilanadi.

Har bir musbat

haqiqiy s

ni uchun uning taqribiy qiymatini ko‘rsatish

mumkin. Agar

...

1

k

n

n

n

n

x

ksiz o‘nli kasrda v

rguldan k

yin k ta

raqamini q

ldirib q

lganlarini tashlab yub

rsak, ya’ni

k

k

n

n

n

n

x

...

bu s

n

x

s

о

nini kami bilan

k

aniqlikda

lingan taqribiy qiymati bo‘ladi. Agar bunga

ni qo‘shsak, u h

lda

k

k

k

n

n

n

n

x

...

nini

rtig‘i bilan

155

aniqlikdagi qiymati bo‘ladi.

Agar

k

n

raqami 9 dan farqli bo‘lsa,

k

n

ga 1 ni qo‘shish bilan

1

k

x

hоsil

bo‘ladi.

Masalan,

...

82365

u hоlda

824

823

k

x

x

bulardan ko‘rinadiki, iхtiyoriy musbat haqiqiy

sоni uchun quyidagi tеngsizlik

o‘rinli.

1

k

k

x

x

x

<

≤

3.4.3.

+

R

to‘plamda tartib munоsabati.

Ikkita

...

,...

1

k

m

m

m

m

x

...

1

k

n

n

n

n

y

musbat haqiqiy s

nlari

rilgan bo‘lsin. Agar

n

m

<

yoki shunday bir

k s

ni uchun

n

m

...,

−

=

k

k

n

m

n

m

n

m

bo‘lib,

k

k

n

m

<

bo‘lsa,

y s

nidan kichik

yiladi.

+

R to‘plamda «<» mun

sabati qattiq chiziqli tartiblangan, ya’ni u assimm

trik,

tranzitiv. Shuning uchun

y

x

≠

y

x

<

yoki

x

y

<

+

R

to‘plamda

+

Q

to‘plamdagid

k eng kichik va eng katta el

nt yo‘q. Bundan

tashqari

+

R

to‘plamdagi i

tiyoriy ikkita s

n o‘rtasida ch

ksiz ko‘p ratsi

nal s

yotadi.

+

R

to‘plamdagi tartib mun

sabatini as

siy

хо

ssalaridan biri uzluksizlik

хо

ssasidir. Bu

хо

ssaga

+

Q

to‘plam ega emas.

+

R

ning i

tiyoriy to‘plam

sti

to‘plamlari s

nli to‘plamlar d

yiladi. Masalan,

+

Q

N

Agar i

tiyoriy

∈

x

Υ

∈

lar uchun

y

c

x

≤

o‘rinli bo‘lsa,

c

nli to‘plamlarni bo‘ladi d

yiladi.

Bunga as

san

+

R

to‘plamni uzluksizligi quyidagicha ta’riflanadi.

Agar

Χ

s

nli to‘plam

nli to‘plamning chap t

m

о

niga j

ylashgan bo‘lsa, u

lda albatta bu to‘plamlarni bo‘luvchi bitta s

n t

piladi.

Masalan,

[ ]

;

[ ]

;

smalarni

lsak, u h

lda

[ ]

;

smasi 6 s

nidan chapda,

[ ]

;

smasi esa 6 s

nidan o‘ngda j

ylashadi. 6 s

[ ]

;

[ ]

;

smalarini

bo‘ladi. D

iraning yuzi unga tashqi chizilgan ko‘pburchaklar yuzalarining to‘plami

ichki chizilgan ko‘pburchaklar yuzalari to‘plamlarini bo‘ladi.

3.4.4.

+

R

da qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish va bo‘lish.

Bizga

+

R

to‘plamdan

...

,...

1

k

m

m

m

m

x

...

1

k

n

n

n

n

y

nlari

rilgan bo‘lsin.

U h

lda i

tiyoriy

ni uchun

1

k

k

x

x

x

<

≤

1

k

k

y

y

y

<

≤

ngsizliklarga

ega bo‘lamiz. T

ngsizliklardan

y

x

k

k

y

x

nidan kichik, emasligi

156

1

k

k

y

x

sоnidan katta emasligi ko‘rinadi.

1-Ta’rif.

x

musbat haqiqiy sоnlarni yigindisi ya’ni

y

x

dеb,

{

}

k

k

y

x

{

}

k

k

y

x

′

to‘plamlarni bo‘luvchi sоnga aytiladi. Bu

k

x

k

y

lar

sоnlarini kami bilan,

k

x

′

k

y

′

lar esa

sоnlarining оrtigi bilan

lingan taqribiy qiymatidir.

+

R

to‘plamda qo‘shish amali kоmmutativ, assоtsiativ va qisqaruvchan. Agar

y

x

<

bo‘lsa, iхtiyoriy

∈

R

uchun

z

y

z

x

+

<

o‘rinli,

+

R

dagi iхtiyoriy

lar uchun

y

x

x

tеnglik bajarilmaydi.

+

R

da ko‘paytirish amali ham yuqоridagiga o‘хshash aniqlanadi.

2-Ta’rif: Musbat haqiqiy

x

va

y

sоnlarning ko‘paytmasi dеb,

{

}

k

k

y

x

⋅

{

}

1

k

k

y

x

⋅

to‘plamlarni bo‘luvchi sоnga aytiladi.

+

R

da ko‘paytirish amali kоmmutativ, assоtsiativ va qisqaruvchan. Ko‘paytirish

amali qo‘shish amaliga nisbatan distributiv. 1 sоni ko‘paytirish amaliga nisbatan

nеytral, ya’ni

∈

R

bo‘lsa, u hоlda

a

a

⋅

.

3-Ta’rif:

+

R

da iхtiyoriy ikkita

b

ва

a

sоnlari uchun

b

a

shartda, shunday

∈

R

tоpiladiki,

c

b

a

bajariladi. Bunda

c

sоniga

sоnlarining

ayirmasi dеyiladi va

b

a

−

ko‘rinishda yoziladi.

+

R

to‘plamda ayirish amali qo‘shish amaliga tеskari amal ekanligi o‘z-

o‘zidan ravshan. Agar

y

x

bo‘lsa,

x

y

y

x

x

y

y

x

−

)

(

)

(

4-Ta’rif:

+

R dagi i

tiyoriy ikkita x va y s

nlari uchun, shunday

∈

R

piladiki,

yz

x

o‘rinli bo‘ladi. Bu h

lda

niga x ni y ga bo‘linmasi d

yiladi

va

y

x : ko‘rinishida b

lgilanadi.

+

R da bo‘lish amali ko‘paytirish amaliga t

skari

amal bo‘lgani uchun

x

y

y

x

x

y

xy

⋅

)

(

)

(

lar bajariladi.

3.4.5. Musbat haqiqiy sоnlar to‘plamining aksiоmatikasi.

Biz yuq

rida musbat haqiqiy s

nlarni ch

ksiz o‘nli kasrlar shaklida if

dalash

mumkinligini aytgan edik. Amm

bu musbat haqiqiy s

nlarning yozishning bir

ko‘rinishi

s. Musbat haqiqiy s

nlarni ch

ksiz ikkilik, ch

ksiz uchlik, va

.k.

kasrlar ko‘rinishida ham yozish mumkin. Masalan, musbat haqiqiy s

nini ch

ksiz

uchlik kasr ko‘rinishida yozsak, uning tarkibida 0,1,2 raqamlari qatnashib, 021,

01210112... ko‘rinishda bo‘lishi mumkin. Musbat haqiqiy s

nlarni uning yozilishi

shakliga b

g‘lamasdan, hammasini qan

atlantiruvchi aksi

malarni shakllantirish

157

lоzim. Shunday aksiоmalar sistеmasidan biri qo‘shish amali хоssalariga asоslangan

bo‘lib, unda ta’riflanmaydigan tushuncha qilib 1 va qo‘shish amali hisоblanadi. Bu

tushunchalar quyidagi aksiоmalar sistеmasini qanоatlantirishi lоzim:

⊂

R

2. Qo‘shish amali

+

R

to‘plamdagi iхtiyoriy

)

;

( b

juftlikga shu to‘plamdagi

b

a

sо

nini m

s qo‘yadi.

+

R

to‘plamda i

tiyoriy a va b lar uchun

+

R da qo‘shish amali k

mmutativ:

a

b

b

a

+

R dagi i

tiyoriy

)

ва

;

(

c

b

а

lar uchun

+

R da qo‘shish amali ass

tsiativ:

)

(

)

(

c

b

a

c

b

a

5.Agar

∈

R

b

a

u h

lda

a

b

a

≠

6. Agar

∈

R

b

a,

bo‘lib

b

a

≠

bo‘lsa, u

хо

lda shunday

∈

R

ni t

piladiki

c

a

b

mun

sabat o‘rinli bo‘ladi;

7. I

tiyoriy

∈

R

va i

tiyoriy natural

n s

ni uchun, shunday yag

∈

R

piladiki,

a s

ni uchun

b

b

b

a

...

(

n marta) mun

sabat o‘rinli bo‘ladi.

1) - 7) aksi

malar

+

R to‘plamda tartib mun

sabatini kiritishga yo`l qo‘yadi.

shqacha aytganla

+

R to‘plamda shunday bir с s

ni t

pildiki, buning uchun

faqat va faqat

с

а

b

musbat o‘rinli bo‘lgandagina a

uzluksizlik aksi

masi bajarilishi l

zim.

8. Agar Х s

nlar to‘plami Y s

nlar to‘plamidan chapda yotsa (ya’ni i

tiyoriy

∈

∈

y

x

lar uchun

y

x

≤

), u h

lda

Χ

ва

to‘plamlarni bo‘luvchi

∈

R

a

mavjud (ya’ni

∈

Χ

∈

y

ва

x

nlari uchun

y

a

x

≤

ngsizlik o‘rinli).

Bu aksi

malar sist

masi yordamida

+

R

to‘plamdagi ch

ksiz o‘nli kasr

ko‘rinishidagi i

tiyoriy s

to‘plamda qo‘shish amalini aniqlashini isb

t qilish

mumkin.

O‘z- o‘zini nazоrat qilish uchun savоllar

O‘lch

sh bo‘lmagan k

smalarni o`lchash haqida tushuncha b

ring.

Kvadratning dioganali uning tam

nlari bilan o‘lch

vd

о

sh emasligi to‘g‘risidagi

ео

mani isb

tlang.

Musbat haqiqiy s

nlarga ta’rif b

ring.

Musbat haqiqiy s

nlar to‘plamining tartiblanganligini tushuntiring.

Musbat haqiqiy s

nlar to‘plamida arifm

tik amallar bajarishini ta’riflarini

ltiring.

Musbat haqiqiy s

nlar to‘plamining aksi

matikasini k

ltiring.

3.5. HAQIQIY SОNLAR TO‘PLAMI.

3.5.1. Musbat va manfiy sоnlar.

Musbat haqiqiy s

nlar yordamida o‘lchash natijasi bo‘lgan i

tiyoriy skalyar

miqd

rlarni if

dalash mumkin: uzunlik, yuza, hajm, massa va

.k. Amm

amaliyotda bu kattaliklarni o‘lchash natijasinigina emas, bu kattaliklar qanchaga

o‘zgarishini ko‘rsatishga to`g‘ri k

ladi. Kattaliklar esa o‘z navbatida o‘sishi yoki

158

kamayishi yoki o‘zgarmasdan qоlishi mumkin. Shu sababli kattaliklarni

o‘zgarishini ko‘rsatish uchun musbat haqiqiy sоnlar to‘plamini kеngaytirishga,

ya’ni bоshqa sоnlarni qo‘shishga zaruriyat tug‘ilgan.

+

R

sоnlar to‘plamiga 0 (nоl)

va manfiy sоnlar qo‘shilib kеngaytirilgan. Buning uchun

+

R

to‘plam оlinib, bu

to‘plamning har bir

x

sоniga

−

(minus

) dеb ataluvchi yangi sоn mоs

qo‘yilgan. Masalan: 3 sоniga – 3, 7 va 8 sоnlariga –7 va –8 va х.k.

x

−

ko‘rinishidagi (bunda

∈

R

) sоnga manfiy sоn dеyilib, ularni to‘plami

−

R

dеb bеlgilangan.

−

+

R

R ,

{ }

0 to‘plamlari birlashtirilib haqiqiy s

nlar to‘plami d

yiladi

va R bilan b

lgilanadi.

Shunday qilib

{ }

0

∪

∪

−

+

R

R

R

bunda

{ }

ва

R

R

−

to‘plamlari o‘zar

jufti-jufti bilan k

sishmaydi, b

shqacha

aytganda bitta s

n ham musbat, ham manfiy yoki musbat va n

l bo‘la

lmaydi.

Agar kattalik dastlab

x

qiymatni qabul qilsa va (bunda

R

y

x

∈

)

y

x

<

bo‘lganda,

kattalikni o‘zgarishi musbat

x

y

−

n bo‘ladi.

Agar

y

x

bo‘lsa, kattalik o‘zgarishi manfiy

)

(

y

−

ni bo‘ladi. Musbat

va manfiy s

nlar qarama-qarshi yo`nalgan nurlar bilan tasvirlanadi, 0 s

ni esa

ikkita nurni b

shi his

blanadi.

x

ва

x

−

nlari k

оо

rdinata to`g‘ri chiziqida san

q

b

shi his

blangan 0 nuqtaga nisbatan simm

trik j

ylashadi. (38-chizma)

38-chizma

оо

rdinata to`g‘ri chiziqida san

q b

shidan

nini if

dal

vchi nuqtagacha

bo‘lgan mas

nini m

duli d

yiladi va

bilan b

lgilanadi.

Shunday qilib,











−

=

lsa

bo

x

agar

lsa

bo

x

agar

x

lsa

bo

x

agar

x

x

Mis

;

−

Aytaylik,

∈

R

R

a

∈

niga o‘zgarganda

∈

R

niga o‘tsin. U

о

lda a haqiqiy s

nga musbat haqiqiy s

nlar juftligi

)

;

(

y

x

s k

ladi. Masalan; 2

niga (7;9) juftligi m

s k

ladi, chunki 7 s

ni 9 s

niga o‘tadi. (9;7) juftligiga – 2

о

ni m

s k

ladi, chunki 9 s

nidan 7 s

niga o‘tishga -2 s

ni m

s k

ladi.

Bitta haqiqiy s

nga ch

ksiz juftliklar m

s k

ladi. Masalan: 3 s

niga (1;4),

(3;6),

....

;

(

va х.k. – 3 sоniga esa (4;1), (6;3),

)

2

;

(

, va

.k.

)

;

(

)

;

(

1

y

x

ва

y

x

juftliklari bitta

a s

niga m

s k

lishi uchun faqat va faqat

2

2

1

y

x

y

x

mun

sabat o‘rinli bo‘lishi zarur.

2

2

1

y

x

y

x

mun

sabat

bajarilsa,

)

;

(

)

;

(

1

y

x

vа

y

x

juftliklar ekvival

nt d

yiladi.

)

;

(

)

;

(

1

y

x

y

x

mun

sabati r

fl

е

ksivlik, simm

triklik va tranzitivlik

хо

ssalariga ega. Shu sababli

159

+

R

to‘plam ekvivalеnt juftliklar sinflariga bo‘linadi.

Har bir

)

;

(

y

x

juftlikni sо

nlar nurida b

shi x va

ох

iri y bo‘lgan

yo`naltirilgan k

smalar bilan tasvirlash mumkin.

Ekvival

nt juftliklarga bir

il uzunlik va bir

il yo`nalishga ega bo‘lgan

smalar m

s k

ladi va ular ekvival

nt k

smalar d

yiladi. Bundan esa haqiqiy

nlar ekvival

nt yo`naltirilgan k

smalar sinfini tavsirlaydi d

yish mumkin.

Download 404,9 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9