Samarqand davlat universiteti mexanika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika bo

5. Nurlanish va konveksiya jarayonining ikki o’lchovli plastinkadagi issiqlik 

uzatilish jarayoniga ta’siri masalasi 

 

Masalaning matematik qo‟yilishi quyidagicha: 

Plastinkaning  ikkala  chetida  issiqlik  uzatilishi  jarayonini  nurlanish  va 

konveksiya  hisobiga  tashqi  muhit  bilan  issiqlik  almashinish  amalga  oshgan  hol 

uchun tahlil qilaylik.  

Uning yechimlar sohasi quyidagicha (8-rasm). 

 

 

8-rasm.Yechimlar sohasi. 

 

Plastinkaning o‟lchamlari quyidagicha: L = H = 0,3 m.  

Plastinka  materiali  qattiq  rezinadan  iborat  bo‟lib,  uning  xarakteristikalar 

quyidagicha: 



 = 0,16 Vt/(m



C); 



 = 1190 kg/m

3

; c = 1900 J/(kg



C). 

Yechim sohasining boshlang‟ich temperaturasi: 

.  

Qolgan  parametrlar  quyidagicha: 

; 

; 

; 

; 

; 

Masalaning matematik modeli quyidagicha: 

- issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasi 

 

---

 

 

20 

 

- boshlang‟ich shart 

; 

-  chegaraviy shartlar 

 

 

 

 

Ushbu  tuzilgan  (5.1)-(5.2)  masalani  fazo  va  vaqt  bo‟yicha  teng  o‟lchovli 

to‟rbo‟yicha sonli yechamiz (9-rasm). 

(5.1)  differensial  tenglamani  chekli  ayirmali  tenglamaga  o‟tkazish  uchun 

vaqt-fazo bo‟yicha quyidagicha koordinatali to‟r kiritamiz: 

 

bu yerda h

x

, h

y

 – mos x, y koordinatalar bo‟yicha to‟r qadamlari; 



 - vaqt bo‟icha 

qadam; hisob sohasini to‟lasincha to‟r bilan to‟ldiramiz, ya‟ni 

 

Izlanayotgan funksiya uchun  

 

belgilash kiritamiz. 

Dastlabki (5.1) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning 

bir  o‟lchovli  lokal  sxemasi  asosida  amalga  oshiramiz,  bunda  bu  sxema  absolyit 

ustivor  va  yig‟indi  approksimatsiya  xossasiga  ega.  Bu  sxemaning  mazmuni 

shundan iboratki, vaqt bo‟yicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning 

---

 

 

21 

 

oraliq qadamida (5.1) tenglamani faqat x o‟qi yo‟nalishida diskretlashtiramiz va bir 

o‟lchovli  tenglamaga  kelamiz;  undan  keyin  (5.1)  tenglamani  yana 

diskretlashtiramiz,  endi  buni  faqat  y  o‟qi  yo‟nalhida  bajaramiz  va  yana  bir 

o‟lchovli tenglamani hosil qilamiz, keyin esa vaqtning to‟la qadamida temperatura 

maydonini aniqlaymiz. 

 

9-rasm.Hisob sohasining ayirmali to‟ri. 

Shunday qilib, 

                  (5.3) 

                  (5.4) 

Bu oxirgi ikki ayirmali tenglama standart uchdiagonalli holatga keltiriladi va 

progonka  usuli  bilan  yechiladi.  Avvalo  butun  soha  bo‟ylab  (5.3)  tenglama 

yechiladi, keyin esa uning topilgan yechimlari asosida (5.3) tenglama yechiladi. 

---

 

 

22 

 

(5.3)  tenglamani  progonka  usuli  bilan  yechishni  qarab  chiqaylik.  Buning 

uchun bu tenglamani quyidagi ko‟rinishga keltiramiz: 

 

Bu tenglamaning koeffisiyentlari A

i

, B

i

, C

i

lar quyidagicha topiladi: 

 

Ushbu 

 

progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun avvalo chap chegaraviy shardan α

1

 va 

β

1

 larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi: 

 

Undan  keyin 

  -  o‟ng  chegaraviy  shartdan  topiladi;  vaqtning  yarimqatlamida 

  -  temperatura  maydoni  topiladi.  Keyin  (5.4)  tenglamani  yechishga  o‟tiladi. 

Bu tenglamani yechish ham xuddi (5.3) ni yechish kabi. 

Chegaraviy shartlar approksimatsiyasi quyidagicha. 

x=0 chegara uchun: 

 

Bu yerda quyidagicha belgilash kiritamiz: 

. 

---

 

 

23 

 

Bunga ko‟ra 

 

yoki 

 

Bu tengliklardan ko‟rinib turibdiki, progonka koeffisiyenti β

1

 chap chegaraviy 

shartdagi  temperaturadan  bog‟liq.Shuning  uchun  temperature  maydonini 

aniqlashda, masalan, oddiy iteratsiya usulidan foydalanish maqsadga muvofiq. Bu 

usulning tadbiqi g‟oyasiga ko‟ra vaqtning har bir qadamida iteratsiya hisoblashlari 

 

shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi, bunda s – iteratsiya nomeri; 



 - hisoblash 

aniqligi. 

Xuddi  shunday  y=L  chegarada  ham  hisoblahlar  quyidagicha  amalga 

oshiraladi: 

 

 

chunki 

 

u holda 

---

 

 

24 

 

 

 

yoki 

 

Bu  o‟ng  chegarada  temperaturani  aniqlash  uchun  nochiziqli  tenglama.Bu 

nochiziqli tenglamani T

N

 ga nisbatan oddiy iteratsiya usuli bilan yechish mumkin. 

Nochiziqli 

chegaraviy 

shartni 

approksimatsiyalash 

jarayonini 

qarab 

chiqaylik.Faraz 

qilqylik, 

chegarada 

issiqlik 

o‟tkazuvchanlik  tenglamasi 

bajarilsin.T(x) funksiyani x=0 nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyih orqali quyidagi 

ifodaga kelamiz: 

 

Buni endi berilgan bir o‟lchovli issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasiga qo‟llasak, u 

holda quyidagilarga kelamiz:  

 

Masalaning chegaraviy shartlaridan birinchisida esa  

 

Oxirgi ikkita ifodalarni o‟zaro tenglashtirsak,  

---

 

 

25 

 

 

 

Shunday qilib, 

 

O‟ng chegaraviy sgartdan T

N

ni quyidagicha topamiz: 

 

Shunday qilib, ushbu 

 

tenglikdan quyidagilar kelib chiqadi: 

---

 

 

26 

 

 

 

x=L  va  y=0  chegaralarda  ham  hisoblashlar  hosilalarni  xuddi  shunday 

approksimatsiyalash  orqali  bajariladi,  faqat  bularda  tenglikning  o‟ng  tarafi  holga 

tengligi e‟tiborga olinadi. 

Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.