Of scientific conference "actual problems of stochastic analysis"

Some  construction  of new  Gibbs  measure  for  the  SOS 

model  on  a  Cayley  tree

B .U .A b r a e v

Chirchiq  state  pedagogical  In stitu te ,  Chirchiq,  U zbekistan 

abrayev89@ m ail.ru,

Let  Г к  =   (V, L)  be  th e  uniform   Cayley  tree,  where  each  vertex  has  k + 1   neighbors  w ith 

V   being  the  set  of vertices  and  L  th e  set  of edges.

Let  Ф  :=   {0,1, 2 ,...,m } ,m   >   1,  and  th e  configuration  a  G  Фу ,  i.e.,  a  =   |a ( x )   G  Ф  : 

x  G  V }.

Consider  th e  H am iltonian

H (a)  =   - J   ^

  |a(x )  -   a ( y )1, 

(1)

(x,y)eb

367

---

where  J   E  R   and  (x, y)  m eans  neighboring  vertices.

The  model  corresponding  to   (1)  is  called  th e  SOS  model  (solid-on-solid  )  model.

In  [3]  for  th e  SOS  model  on  Z d  it  was  proved  th a t  there  is  T0  >  0  such  th a t  for  T   <   T0 

the  stru ctu re  of th e  therm odynam ic  phases  is  determ ined  by  th e  dom inant  ground  states 

of  th e  SOS  model:  for  even  m   the  Gibbs  m easure  (GM)  is  unique,  for  odd  m   there  are 

two  periodic  GMs.

In  [6]  th e  authors  proved  existence  of  up  to  seven  phases  in  th e  case  of  ferrom agnetic 

interactions.  They  investigated  w hether  these  states  are  extrem al  or  non-extrem al  in  the 

set  of  all  Gibbs  measures.

The  Cayley  tree  Г к  of order  k  >   1  is  an  infinite  tree,  i.e.,  a  graph  w ithout  cycles,  such 

th a t  exactly  k + 1   edges  originate  from  each  vertex.  Let  Гк  =   (V , L)  where  V  is  th e  set  of 

vertices  and  L  the  set  of edges.  Two  vertices  x  and  y  are  called  nearest  neighbors  if there 

exists  an  edge  I  E  L   connecting  th em   and  we  denote  I  =  ( x ,y ) .  A  collection  of  nearest 

neighbor  pairs  ( x ,x i ),  ( x i, x 2) , . . . ,   (xd -i,y )  is  called  a  path  from  x  to  y.

On  this  tree,  there  is  a n a tu ra l  distance  to   be  denoted  by  d ( x , y ) ,  being  th e  num ber  of 

nearest  neighbor  pairs  of th e  m inim al  p a th   between  the  vertices  x   and  y .

For  a  fixed  x 0  E  V ,  th e  root,  let

Wn  =  { x   E  V  :  d (x ,x 0)  =   n},  Vn  =  {x  E  V  :  d (x ,x 0)  <   n} 

be  respectively  th e  sphere  and  th e  ball  of  radius  n  w ith  center  a t  x 0,  and  for  x  E  W n  let

S ( x )   =  {y  E  Wn+i  :  d ( y , x )   =  1}

be  th e  set  of  direct  descendants  (successors)  of x .

Let  assume  th a t  the  spins  take  values  in  th e  set  Ф  :=   {0,1, 2}.  A  configuration  a  on 

A  С  V  is  defined  as  the  function  x  E  A   m   a A(x)  E  Ф.  The  set  of  all  configurations 

coincides  w ith  QA  =   ФА.  P u t  Q  =   QV  and  a  =  aV.

Let  Gk  be  a  free  product  of  k  +   1  cyclic  groups  of  th e  second  order  w ith  generators 

a i , a 2, . . .   , a k+i ,  respectively.  It  is  known  th a t  there  exists  a  one-to-one  correspondence 

between  th e  set  of vertices  V  of th e  Cayley tree  Г к  and  th e  group  G k  (see  [8],  for  detailed 

properties  of this  group  representation).

A  periodic  configuration  is  defined  as  the  configuration  a  E  Q  th a t  is  invariant  w ith 

respect  to  some  subgroup  G*k  С  G k.  In  other  words,  a  configuration  a  E  Q  is  called 

periodic  if  a ( y x )   =  a( x)  for  any  x  E  G k  and  y  E  G *

k.  For  a  given  periodic  configuration, 

the  subgroup  index  is  called  th e  configuration  period.  A  configuration  th a t  is  invariant 

w ith  respect  to   all  shifts  on  th e  tree  is  called  translation-invariant.  The  H am iltonian