Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

2. Uzluksiz   funksionalning  xossalari. 

     Aytaylik ,    (

   metrik   fazoda   f   uzluksiz   funksional   berilgan  bo’lsin.                      

 

       2-teorema.    f   funksional    M ⸦ X    kompakt     to’plamda   chegaralangan 

hamda   o’zining   eng   katta   va   eng   kichik   qiymatlariga   erishadi. 

 

       Isbot.   1- teoremaga     asosan ,    f     funksionalning     qiymatlar     to’plami 

f (M) = E  ,   kompakt     to’plam    bo’ladi.   Demak ,    E   chegaralangan   ya’ni  

shunday    a   va  b    sonlar    topilib ,     a

    bo’ladi.    Bundan       f  

funksionalning    M  da   chegaralanganligi   kelib  chiqadi. 

 

 

                                                              6 

---

      E     to’plam      chegaralangan .    Shuning     uchun     uning      aniq     yuqori  va 

     aniq      quyi     chegaralari     mavjud .   Endi     

      belgilash  kiritamiz 

     va    0    ga    yaqinlashuvchi    

     ketma - ketlikni    olamiz.  

     Aniq     yuqori    chegaraning     ta’rifiga    ko’ra ,    

     ketma - ketlikning     har 

     bir       hadi      uchun      M     to’plamga      tegishli       shunday       

      nuqtalar 

      

     topilib ,    bu   nuqtalar   uchun 

 

                                  - 

      (n= 1, 2,…)                             (1) 

 

     tengsizliklar      o’rinli     bo’ladi.    Hosil      bo’lgan       

       ketma - ketlikdan 

     M      to’plamning     

    nuqtasiga     yaqinlashuvchi     

       qism      ketma - 

     ketlik       ajratamiz .      Bu     

     nuqtada      f      funksional      uzluksiz .      Shu 

     sababli       

       bo’ladi .     Demak ,     f      funksional 

     o’zining     eng   katta   qiymatini   qabul   qiladi. 

             Shunga    o’xshash ,    f    funksionalning    eng    kichik    qiymatga    erishishi 

     isbotlanadi.   Teorema    isbot   bo’ldi.