|
f(а
1
, а
2
, . . ., а
n
) =
= f(α
1
a
1
, . . . , α
k
a
k
,
a
k+1
, . . .,
. . .
a
n
). (8.15)
Это равенство показывает, что функция f обладает свой-
ством однородности относительно масштабов а
1
, а
2
, . . ., а
k
.
Масштабы а
1
, а
2
, . . . , а
k
произвольны. Воспользуемся выбо-
ром этих масштабов для сокращения числа аргументов у
функции f. Положим:
,
, . . . ,
,
т.е. выберем систему единиц измерения таким образом,
чтобы значения первых k аргументов в правой части соотно-
шения (8.15) равнялись единице. Иначе говоря, используя то
обстоятельство, что соотношение (8.14) согласно предполо-
жению не зависит от системы единиц измерения, мы уста-
навливаем систему единиц измерения так, чтобы k аргумен-
тов у функции f имели фиксированные постоянные значения,
равные единице.
В этой относительной системе единиц измерения чис-
ленные значения параметров а, а
k+1
, . . . , а
n
определяются
формулами
190
П =
, П
1
=
, … , П
n-k
=
,
где a, a
1
, a
2
, . . . , a
n
– численные значения рассматриваемых
величин в первоначальной системе единиц измерения. Не-
трудно видеть, что значения П, П
1
, …, П
n-k
вообще не зависят
от выбора первоначальной системы единиц измерения, так
как они имеют нулевую размерность относительно единиц
измерения А
1
, А
2
, …, А
k
. Очевидно также, что значения П,
П
1
, … , П
n-k
вообще не зависят от выбора систем тех единиц
измерения, через которые выражаются k единиц измерения
для величин а
1
, а
2
, . . . , а
k
. Следовательно, эти величины
можно рассматривать как безразмерные. Пользуясь относи-
тельной системой единиц измерения, соотношение (8.14)
можно представить в виде
П = f (1,1, . . . , П
1
, . . . , П
n-k
). (8.16)
Таким образом связь между n+1размерными величина-
ми a, a
1
, . . ., a
n
, независимая от выбора системы единиц из-
мерения, принимает вид соотношения между n+1- k величи-
нами П, П
1
, . . . , П
n-k
, представляющими собой безразмерные
комбинации из n+1размерных величин. Этот общий вывод
теории размерностей известен под названием П – теоремы.
Если известно, что рассматриваемая безразмерная вели-
чина является функцией ряда размерных величин, то эта
функция может зависеть только от безразмерных комбина-
ций, составленных из определяющих размерных величин.
Очевидно, что в соотношении (8.16) систему безразмер-
ных параметров П
1
, П
2
, . . . , П
n-k
, можно, изменяя вид функ-
ции f, заменять другой системой безразмерных параметров,
являющихся функциями n-k параметров П
1
, . . . , П
n-k
. Не-
трудно видеть, что из n параметров a
1
, a
2
, . . ., a
n
, среди кото-
рых имеется не более k параметров с независимыми размер-
ностями, нельзя составить больше n-k независимых безраз-
191
мерных степенных комбинаций. Это непосредственно выте-
кает из вывода соотношения (8.16), если за величину a мы
примем любую выбранную безразмерную комбинацию,
определяемую величинами a
1
, a
2
, . . ., a
n
.
Всякое физическое соотношение между размерными ве-
личинами можно сформулировать как соотношение между
безразмерными величинами. В этом, собственно, и заключа-
ется источник полезных приложений метода теории размер-
ности к исследованию механических задач.
Чем меньше число параметров, определяющих изучае-
мую величину, тем больше ограничена функциональная за-
висимость и тем проще вести исследование. В частности, ес-
ли число основных единиц измерения равно числу определя-
ющих параметров, которые имеют независимые размерности,
то с помощью теории размерности эта зависимость полно-
стью определяется с точностью до постоянного множителя. В
самом деле, если n = k, т.е. все размерности независимы, то
из параметров a
1
, a
2
, . . . , a
n
нельзя образовать безразмерной
комбинации, и поэтому функциональная зависимость (6.3)
может быть представлена в виде
a= c
. . .
,
где с – безразмерная постоянная, а показатели m
1
, m
2
, …
, m
n
легко определяются с помощью формулы размерности
для a. Что же касается безразмерной постоянной, то ее можно
определить любым опытом, либо теоретически, решаю соот-
ветствующую математическую задачу. Очевидно, что теория
размерности приносит тем большую пользу, чем больше мы
можем выбирать основных единиц измерения.
Выше мы видели, что число основных единиц измере-
ния можно выбирать произвольно, однако увеличение числа
основных единиц связано с введение дополнительных физи-
192
ческих постоянных, которые также должны фигурировать
среди определяющих параметров. Увеличивая число основ-
ных единиц измерения, мы увеличиваем число размерных по-
стоянных; в общем случае разность n+1– k, равная числу без-
размерных параметров, в которых формулируется физическое
соотношение, остается постоянной. Увеличение числа основ-
ных единиц измерения может приносить пользу только в том
случае, когда из дополнительных физических соображений
ясно, что физические постоянные, возникающие при введении
новых основных единиц измерения, несущественны.
Do'stlaringiz bilan baham: |
