2 bob nochiziqli va xaotik mexanika predmeti

x

x







 

(2.2) 

Bu tenglama chiziqli ossillyator tenglamasi bo‘lib, garmonik tebranishlarni tavsiflaydi. 

Mexanikada  va  tebranishlar  nazariyasida  harf  ustidagi  nuqta  vaqt  bo‘yicha  birinchi 

tartibli  hosilani  bildiradi,  ikki  va  uch  nuqtalar  esa  mos  ravishda  ikkinchi  va  uchinchi  tartibla 

hosilalardir.  Bu  Newton  davridan  odat  tusiga  kirgan.  (2.2)  teng-lamadagi 



  o‘raning  tubi 

yonidagi shakli bilan aniqlanadi, yechimi esa (2.1) ko‘rinishga ega. O‘ralarning shakli bir-biridan 

jiddiy  farq  qilganligi  uchun  ularning  har  birida  katta  tebranishlar  o‘zgacha  bo‘ladi.  Matematik 

model doirasida katta amplitudali tebranishlar esa (2.2) tenglamaga x ning ikki va undan yuqori 

---

11 

 

________________________________________________________________________________________________________  

Ya&NFK                                                                                                                                               A.A.Abdumalikov 

darajalari  ishtirok  etgan  hadlarni  qo‘shish  bilan  o‘rganiladi. 

2

3

,

,

x x

larning  oldidagi 

koeffitsiyentlar o‘ralarning shakli bilan belgilanadi. Ko‘rilayotgan misolda tebranish amplitudasi 

ortishi  bilan  har  bir  o‘radagi  harakat  uchun  yozilgan  tenglamada  o‘zining  nochiziqli  qo‘shilib 

boradi.  Kichik  tebranishlar  chiziqli,  katta  amplitudali  tebranishlarni  esa  nochiziqli  tebranishlar 

nazariyaning mazmunini tashkil qiladi.  

Yuqorida 

keltirilgan 

mulohazalar, 

albatta  o‘ra  silliq  bo‘lganda  o‘rinlidir.  O‘ra 

minimumga  ega  bo‘lgan  matematik  funksiya 

(mexanikada bu funksiya potensial energiyani 

beradi)  orqali  ifodalanadi.  Bu  funksiya 

minimum  atrofida  Taylor  qatoriga  yoyilsa,  u 

kvadratik  had  bilan  boshlanadi.    Bu  qaysidir 

ma’noda tabiiy yoki  tipik holdir. Nolinchi had 

o‘zgarmas  bo‘lganligi  uchun  inobatga  olinmaydi.  Bu  holat,  xususan  mexanikada  potensial 

energiyaning  hisob  boshini  tanlash  ixtiyoriyligi  bilan  bog‘langan.  O‘ra  silliq  bo‘lishi  mumkin, 

ammo biror maxsus sabab bilan kvadratik had nolga teng bo‘lib qolsa, g‘ayri oddiy hol yuzaga 

keladi (2.5a-rasm). Bunday o‘rada hatto kichik tebranishlarni ham chiziqli deb bo‘lmaydi. Agar 

o‘ra  silliq  bo‘lmasa  (2.5b,c-rasm),  tebranishlar  umuman  chiziqli  bo‘lmaydi.  Bu  misollardan 

quyidagi  xulosani  keltirish  mumkin:  Kichik  tebranishlar  chiziqli,  katta  tebranishlar  nochiziqli 

deyish faqat silliq o‘ralar uchun ma’noga ega. 

Tebranishlarni  kichik  va  kattaga  ajratish  sistemani  tavsiflashda  foydalanilayotgan 

matematik model bilan bog‘langan. Chiziqli, xususan (2.2) tenglamada dinamik kattalik va uning 

hosilalarining  birinchi  darajasi  ishtirok  etadi.  Agar  funksiyalar   

1

( )

x t

  va

2

( )

x t

  chiziqli 

tenglamaning  yechimlari  bo‘lsa,  bulardan  tuzilgan  chiziqli  kombinatsiya 

1 1

2 2

( )

( )

C x t

C x t



  ham 

yechim  bo‘ladi  va  sistemada  yuzaga  kelishi  mumkin  bo‘lgan  tebranishlar  aniqlaydi.  Bunday 

sistemalarda superpozitsiya prinsipi bajariladi deyiladi. Koeffitsiyentlar С

1

 и С

2

 kattalik jihatdan 

ixtiyoriy. Mos ravishda tebranish amplitudalari ham ixtiyoriy bo‘lishi mumkin. Ammo, chiziqlilik 

sharti buzilmasligi kerak. 

 

2.5-rasm. Kichik tebranishlar chiziqli bo‘lmagan sistemalarga misollar. (a) o‘raning kesimi qatorga yoyilganda 

to‘rtinchi darajadan boshlanadi, (b) o‘raning quyi nuqtasida birinchi tartibli hosila sakrab o‘zgaradi, (c)  

o‘raning quyi nuqtasida ikkinchi tartibli hosila sakrab o’zgaradi. 

Bundan  tabiatda  haqiqiy  chiziqli  sistema  mavjud  emasligi  kelib  chiqadi.  Masalan  real 

tebranish  konturini  ko‘ramiz.  Kuchlanishni  oshirib  borgan  sari  konturdagi  elektr  tebranishlari-

ning amplitudasi ham ortib boradi. Kuchlanish qandaydir chegara qiymatiga yetganda konturda 

elektr  “teshilish”  yuz  beradi.  Demak,  kichik  tebranishlar  katta  amplitudali  tebranishlarga 

nisbatan  o‘zgacha  bo‘ladi.  Shunday  qilib,  har  qanday  sistemani  qaysidir  ma’noda  chiziqli  yoki 

nochiziqliga ajratish mumkin.  

Chiziqli sistemalarda amplituda o‘lchoviga ega bo‘lgan sistemaga xos bo‘lgan parametr – 

masshtab  yo‘q.  Demak,  chiziqli  sistemalarda  amplitudalari  katta  va  kichik  tebranishlar  birday 

 

2.4-rasm. Uch xil o‘rada sharning mexanik tebranish-

lari,  kichik  tebranishlar  uchala  o‘rada  bir  xil  bo‘ladi, 

katta amplitudali tebranishlar bir-biridan farq qiladi.

 

---

12 

 

________________________________________________________________________________________________________  

Ya&NFK                                                                                                                                               A.A.Abdumalikov 

ro‘y  beradi.  Dinamik  kattalik  birday  qonun  bilan  o‘zgaradi.  Masalan,  garmonik  tebranishlarda 

chastota va davr amplitudaga bog‘liq emas (2.6-rasm, yuqori qismiga q.). Nochiziqli tebranishlar 

tebranish amplitudaga bog‘liq holda ro‘y beradi (2.6-rasm, pastki qismiga q.). 

Tebranuvchi sistemalarda tebranishlarning mohiyatini aniqlovchi dinamik o‘zgaruvchilar 

bilan  bir  qatorda  sistema  uchun  xos  bo‘lgan  va  tenglamalarga  kiruvchi  o‘zgarmas  kattaliklar 

(parametrlar)  bilan  ham  ish  ko‘rishga  to‘g‘ri  keladi.  Bu  kattaliklarning  qiymati  va  ishorasi 

tebranishlar mohiyatiga jiddiy ta’sir o‘tkazadi.  

Berilgan tebranuvchi sistemada tebranishlarni yetarli darajada aniqlikda kichik va  katta 

bo‘lishini  uchun  parametrlarning  o‘zgarish  chegaralarini  ko‘rsatish  mumkin  bo‘ladi.  Masalan, 

o‘rtadagi  (2.4-rasm) tebranishlar  chiziqli  bo‘lishi uchun  uning  shakli  qanday  darajada  parabola 

deb  qarash  mumkinligi  bilan  aniqlanadi.  Uning  shakli  paraboladan  chetlasha  boshlasa, 

tebranishlar  nochiziqli  bo‘la  boshlaydi.  Demak,  tebranishlar  qanday  bo‘lishi  sistema 

parametrlari – masshtab bilan aniqlanar ekan. Tebranish xarakterini bunday yo‘l bilan ko‘rsatish 

qo‘pol bo‘lib, bohalashlar aniqligida bo‘ladi. 

 

2.6-rasm. Chiziqli va nochiziqli sistemaning kichik (yuqorida) va katta (pastda) amplitudali tebranishlari 

tasvirlangan. Bu sistemalarda kichik amplitudali tebranishlar farq qilmaydi, katta amplitudali tebranishlar 

keskin farqlanadi. 

Biror  sistema  holatini  aniqlovchi  dinamik  o‘zgaruvchilar  ko‘rsatilgan  bo‘lsa,  masalani 

yechish  natijasida  sistemaning  ixtiyoriy  keyingi  vaqtda  holatini  aniq  etish  mumkin  bo‘ladi. 

Bunda  dinamik  sistemaning  holat  vektori  berilgan  deyiladi.  Sistemaning  holatini  ko‘p  hollarda 

qulay  bo‘ladigan  geometrik  ko‘rinishda  ham  tasvirlash  mumkin.  Buning  uchun  holatlar  fazosi 

yoki  fazalar  fazosi  kiritiladi.  Bu  fazoda  koordinata  o‘qlariga  dinamik  kattalik  qo‘yiladi.  Turli 

sistemalar  uchun  fazalar  fazosining  o‘lchami  turlicha  bo‘ladi.  Masalan,  (2.2)  ossillyator  uchun 

ikkiga teng bo‘lib, holat oniy koordinata va tezlik bilan beriladi.  

Sistemaning  dinamikasi  fazalar  fazosidagi  tasvirlovchi  nuqtaning  harakati,  faza 

trayektoriyasi bilan aniqlanadi. Dinamik sistema to‘g‘risida so‘z borganda, xususan, nazorat qilib 

bo‘lmaydigan  tashqi  ta’sirlardan  holi  bo‘lgan  muayyan  nazariy  abstraksiya  ko‘zda  tutiladi. 

Boshqa tomondan, tebranuvchi sistema – fizik tabiati turlicha bo‘lishi mumkin bo‘lgan real fizik 

dunyo obyektidir. Nazariy natijalarni aniq berilgan sistemaga tadbiq qilinganda obyektning fizik 

jihatiga e’tibor berish kerak bo‘ladi. Hozircha bu ikki tushunchani farqlamaymiz. 

Har  qanday  dinamik  sistema  kabi  tebranuvchi  sistemalarni  konservativ  va  dissipativga 

ajratish qabul qilingan.  

Avval  mexanik  tebranishlarga  qaraymiz.  Kechayotgan  tebranish  jarayonida  dinamik 

o‘zgaruvchilar  bilan  bog‘langan  to‘liq  (kinetik  plyus  potensial)  mexanik  energiya  saqlansa,  uni 

---

13 

 

________________________________________________________________________________________________________  

Ya&NFK                                                                                                                                               A.A.Abdumalikov 

konservativ  deb  atash  qabul  qilingan.  Ishqalanish  yoki  qarshilik  kuchlari  ta’siri  natijasida 

sistemaning energiyasi issiqlikka aylansa yoki yo‘qolsa, u dissipativ deb ataladi. 

Yuqoridagi  ta’rifni  ixtiyoriy  fizik  tabiatga  ega  bo‘lgan  tebranuvchi  sistemalar  uchun 

tadbiq  qilib  bo‘lmaydi.  Chunki  ixtiyoriy  sistemalarda  faqat  mexanik  sistemalarga  taalluqli 

mexanik  energiya  tushunchasidan  foydalanish  mumkin  emas.  Demak  sistemalarni  konservativ 

va dissipativga ajratish oddiy masala emas ekan. Bu kitob doirasida sistemalarni konservativ va 

dissipativga  ajratishda    mexanika  sistemalar  uchun  berilgan  ta’rifni  asos  qilib  olamiz.  Ya’ni, 

sistemaga  ekvivalent  mexanik  modelni  ko‘rsatish  mumkin  bo‘lsa,  bunday  sistemalarni 

yuqoridagi  ma’noda  konservativ  va  dissipativga  ajratish  mumkin.  Mexanik  bo‘lmagan 

konservativ sistemaga misol sifatida reaktiv elementlar – sig‘im va induktivlikdan tashkil topgan 

elektr zanjiri (erkin tebranishlar konturi) ko‘rsatish mumkin. Bu zanjirga aktiv qarshilik ulansa, u 

dissipativ bo‘lib qoladi. 

Konservativ  sistemalarning  xotira,  ya’ni  istalgan  uzoq  vaqt  boshlang‘ich  holatni  eslab 

qolish xossasi bor.  Masalan, (2.2) ossillyator istalgancha uzoq vaqt boshlang‘ich amplituda bilan 

tebranadi.  Boshqa  boshlang‘ich  shartga  istalgancha  uzoq  vaqt  o‘zgarmas  qoladigan  boshqa 

amplituda to‘g‘ri keladi.  

Dissipativ sistemalar uchun xos bo‘lgan muhim xususiyat – boshlang‘ich holat to‘g‘risida 

xotirani  yo‘qotishdir.  Uzoq  vaqt  o‘z  holiga  qo‘yilgan  sistemaning  dinamikasi  boshlang‘ich 

holatga  (hech  bo‘lmaganda  boshlang‘ich  shartlar  chekli  oraliqdagi  variatsiyasida)  bog‘liq 

bo‘lmay qoladi. Dissipativ sistemaning fazalar fazosida qaror topgan nuqtalar to‘plami attraktor 

deyiladi.  Attraktorga  turg‘un  muvozanat  holat,  chegaraviy  sikllar  misol  bo‘la  oladi.  Chegaraviy 

sikl – berk faza trayektoriyasi bo‘lib, unga yaqin turgan barcha trayektoriyalar o‘raladi. 

Nochiziqli tebranuvchi sistemalarga xos va juda qiziqarli hodisa – avtotebranishlar bo‘lib, 

u  fazalar  fazosida  chegaraviy  sikllar  bilan  uzviy  bog‘langan.  Avtotebranishlar  –  ba’zi  dissipativ 

sistemalarda  aniq  boshlang‘ich  shartlarga  bog‘liq  bo‘lmagan  va  o‘z-o‘zidan  yuzaga  keladigan 

tebranishlar  bo‘lib,  uning  chastotasi,  amplitudasi  hamda  shakli  shu  sistemaning  parametrlari 

bilan  aniqlanadi  (2.7-rasmda  misollar  keltirilgan).  Avtotebranishlar  radiotexnikada  (elektron 

avtogenerator  –  barcha  turdagi  uzatuvchi  qurilmaning  asosi),  akustikada  (hushtak,  puflab 

chalinadigan  musiqa  asboblari),  aerodinamikada  (hilpirayotgan  bayroq,  (samolet  qanotining 

noxush va xavfli tebranishlari)  va boshqa sohalarda ko‘p uchraydi. Astrofizikada aniqlanishicha 

sefeid  deb  ataluvchi  yulduzlarning  yorqinligi  davriy  ravishda  o‘zgarib  turishi  avtotebranisga 

misol  bo‘ladi.  Avtotebranishlar  chiziqli  nazariya  orqali  umuman  tushuntirib  bo‘lmaydi,  chinki 

chiziqli  nazariya  tebranishlar  amplitudasi  masshtab  vazifasini  o‘ta  olmaydi.  Avtotebranishlar 

uchun esa amplituda muhim rol o‘ynaydi. 

Turli tabiatli sistemalarda chiziqli tebranishlar bir nuqtai nazardan o‘rganish mumkinligi 

XX asr boshlariga kelib aniq va ravshan bo‘lib qoldi. Chiziqli nazariya mustaqil yo‘nalish sifatida 

shakllandi desa bo‘ladi.  

Nochiziqli  tebranishlar  muammolari  bilan  olimlar  osmon  mexanikasi  masalasida  ilk  bor 

duch  kelishgan.  Xususan,  ikki  jism  masalasi  aniq  yechimga  ega.  Bunda  ikki  xil  –  infinit  va  finit 

harakat mavjud. Birinchi xil harakatda jism ochiq trayektoriyalar bo‘ylab harakat qiladi. Ikkinchi 

xil harakatda esa jismlardan biri ellipsning fokusida joylashgan bo‘lib, ikkinchi shu ellips bo‘ylab 

harakat qiladi. 

Yuzaki  qaraganda  masala  ozgina  murakkablashganda,  ya’ni  uch  jism  masalasida 

trayektoriyalar o‘ta murakkab ko‘rinishga ega bo‘lib qoladi. Hatto ma’lum bir shartlarda harakat 

---

14 

 

________________________________________________________________________________________________________  

Ya&NFK                                                                                                                                               A.A.Abdumalikov 

xaotik tus oladi.  Yana shuni ta’kidlash lozimki osmon mexanikasi aniq bir tipdagi masalalarni – 

konservativ sistemalarni o‘rganadi. 

 

 

(а)                                                  (b)                                                 (c) 

2.7-rasm. Avtotebranishli sistemalarga misollar: