8 -ma’ruza Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsion hisob usullari yordamida yechish

1-Misol. Koshi masalasini yeching  

  ( )    ( )                                   ( )          ( )       

► Original tasvirlarni yozamiz  

 ( )    ( ) 

  ( )     ( )    ( )     ( ) 

  ( )    

 

 ( )     ( )     ( )    

 

 ( )     

       

 

 

 

   

 

Ularga ko’ra operatorli tenglama  

 

 

 ( )    ( )      

 

 

 

   

 

ko’rinish oladi. Bu yerdan  

 ( )( 

 

   )  

 

 

 

   

    

 ( )  

  

( 

 

   )

 

 

 

 

 

   

 

Original tasvir jadvaliga ko’ra  

 

 

 

   

              

  

( 

 

   )

 

               

 

Demak,  

 ( )                   

Shunday qilib berilgan Koshi masalasining yechimi 

 ( )                  .◄ 

2-Misol. Koshi masalasini yeching 

  ( )      ( )    

 

                        ( )          ( )       

►Tasvirlarni  

 

 

 

 

     

 

munosabatni  hisobga  olgan  holda  berilgan  tenglamaga  qo’yamiz  va  operatorli 

tenglamani hosil qilamiz: 

 

 

 ( )     ( )    

 

( )      ( )     ( )  

 

     

 

---

3 

 

( 

 

    ) ( )      

 

     

 

 ( )  

     

(     )( 

 

    )

 

Bu kasrni sodda kasrlarga yoyamiz  

 

 

 

 

     

 

 

     

 

     

(     )( 

 

    )

 

va noma’lum koeffitsientlarni topamiz 

 ( 

 

        )    ( 

 

    )    ( 

 

   )         

{

             

                

       

 

{

        

       

        

 

Demak,  

 ( )    

 

  

 

 

 (     )

 

 

  (     )

   

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

  

 ( )    

 

 

 

 

 

 

 

  

 

   

 

berilgan tenglamaning yechimini hosil qildik. ◄ 

3-Misol. Koshi masalasini yeching  

  ( )    ( )    

 

                        ( )          ( )      

► 

          kabi almashtirish bajarsak 

 ( )    (     )    ( ) 

Agar  berilgan  tenglamada  bu  almashtirishlarni  bajarsak,  quyidagi  Koshi 

masalasini hosil qilamiz 

          

   

                        ( )          ( )      

Bu tenglamada tasvirlarga o’tib operatorli tenglamani yozamiz 

  ( )    ( ) 

 

 

( )     ( )    ( )     ( )     

  ( )    

 

 ( )     ( )     ( )    

 

 ( )     

 

 

 ( )        ( )  

 

     

 

 ( )  

 

(     )( 

 

   )

 

 

 

 

   

 

 

  ( ) funksiyani quyidagicha sodda kasrlarga yoyamiz 

 ( )  

 

 (     )

  (   

 

 

)

 

 

 

   

 

 

 ( 

 

   )

 

va uning originalini topamiz  

 ( )  

 

 

 

 

  (   

 

 

)        

 

 

      

Dastlabki o’zgaruvchi 

  ga qaytib Koshi masalasining yechimi 

 ( )  

 

 

 

   

  (   

 

 

)    (     )  

 

 

   (     )   

 

 

 

 

 

  (   

 

 

)    (     )  

 

 

   (     ) 

---

4 

 

ni hosil qilamiz.◄ 

4-Misol.  Quyidagi differensial tenglamani yeching. 

  ( )                   ( )             ( )     

►  Agar  bu  tenglamada  boshlang’ich  shartlarni  hisobga  olgan  holda 

operatorli tenglamaga o’tsak 

 

 

 ( )    ( )    yoki             ( )  

 

 

 

 ( ) 

bu yerda 

 ( )    ( )      ( )           

  ( )  funksiyaning  originalini  topish  uchun  Dyuamel  formulasidan 

foydalanamiz. Buning uchun funksiyani quyidagicha yozib olamiz 

  ( )    

 

 

 

 ( ) 

Agar 

 ( )            ( )       ( )    

 

 deb olsak Dyuamel formulasiga 

ko’ra 

 ( )    

 

 

 

 ( )    

 

 

 

 

( )    (     )      ( ) ( )   

 

 

 

 

 

 

 

     

 

  (     )

 

    

 

 

 

 

 

 

 

         

 

     

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

       

 

 

 

     

 

    

 

 

 

 

 

 

 

       

     

 

     

  (

 

 

 

        

 

 

  (     

 

)  

 

 

   

 

 

      ) |     

 

 

 

 

        

 

 

  (     

 

)  

 

 

         

 

Demak, berilgan tenglamaning yechimi  

 ( )  

 

 

   

 

        

 

 

  (     

 

)  

 

 

 

funksiya bo’ladi.◄ 

Chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini operatsion hisob 

usulida yechish 

Ba’zi  amaliy  masalalar  chiziqli  differensial  tenglamalar  sistemasini 

yechishga olib kelinadi. Bu sistemalar uchun ham operatsion hisob usulini qo’llash 

mumkin bo’lib, differensial tenglamalar uchun keltirilgani kabi operatorli sistema 

hosil qilinadi. 

Biz  eng  sodda  hol,  ikki  noma’lumli  chiziqli  differensial  tenglamalar 

sistemasini qaraymiz: 

{

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

     

 

     

 

( ) 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

     

 

     

 

( ) 

                           (5) 

 ( )    

 

   ( )    

 

                                      (6) 

Bu sistemada  

  ( )    ( )         ( )    ( ) 

 

 

( )     ( )    

 

         

 

( )     ( )    

 

 

almashtirishlar yordamida operatorli tenglamalar sistemasiga o’tamiz 

---

5 

 

{

 

 

  ( )    

 

 

 

   

 

  ( )    

 

 

 

   

 

 ( )    

 

 ( )    

 

( )

 

 

  ( )    

 

 

 

   

 

  ( )    

 

 

 

   

 

 ( )    

 

 ( )    

 

( )

 

Uni shakl almashtirib 

  ( ) va  ( )  noma’lumlarga nisbatan ikki noma’lumli  

{

( 

 

     

 

) ( )   ( 

 

   

 

) ( )    

 

( )    

 

 

 

   

 

 

 

( 

 

     

 

) ( )   ( 

 

   

 

) ( )    

 

( )    

 

 

 

   

 

 

 

 

chiziqli tenglamalar  sistemasini hosil  qilamiz.  Bu  sistemadan noma’lum 

 ( )  va 

 ( )  larni  topib  ularning  originaliga  o’tsak  (5)  sistemaning  (6)  shartlardagi 

yechimi hosil bo’ladi. 

 

Agar  (6)  shartlar  nol  bo’lsa  yoki  (5)  sistemadagi  ba’zi  koeffitsientlar  nol 

bo’lganida  operatorli  sistema  ancha  soddalashadi.  Biz  (5),(6)  masalaga  doir  bir 

necha misol qaraymiz. 

5-Misol. Differensial tenglamalar sistemasini yeching 

{

 

 

       

 

 

       

                   ( )         ( )      

► Laplas almashtirishi yordamida  

 ( )    ( )         ( )    ( ) 

 

 

( )     ( )    

 

    ( )            

 

 

( )     ( )    

 

    ( )    

 

tasvirlarga o’tib, berilgan sistemaga mos operatorli sistemani yozib olamiz 

{

  ( )        ( )    

  ( )        ( )    

       

{

 ( )         ( )

 (      ( ))    ( )         

Ikkinchi tenglamadan 

 ( ) ni topamiz 

 ( )( 

 

   )         

 ( )  

 

      

U holda  

 ( )         ( )      

 

     

 

  

     

 

Ularning originallari 

 ( )    

 

   ( )        

 ( )     

 

   ( )

 

sistemaning yechimi bo’ladi.◄ 

6-Misol.  Differensial tenglamalar sistemasini yeching 

{

 

 

         

 

 

             

                   ( )         ( )     

►Sistemada tasvirlarga o’tamiz 

 ( )    ( )         ( )    ( ) 

 

 

( )     ( )    

 

    ( )        

 

 

( )     ( )    

 

    ( )    

 

U holda  

{

  ( )    ( )     ( )

  ( )         ( )    ( )    

 

sistema hosil bo’ladi. Bu sistemani yechib 

---

6 

 

 ( )  

       

 (     )(     )

 

 ( )  

  

 

        

 (     )(     )

 

funksiyalarni hosil qilamiz. Ularning har birini sodda kasrlarga yoyamiz, natijada 

 ( )    

 

  

 

 

     

 

 

 (     )

 

 ( )  

 

  

 

 

     

 

 

 (     )

 

funksiyalarga ega bo’lamiz. Ularning originallarini hisoblasak 

 ( )    

 

 

    

  

 

 

 

 

  

 

 ( )  

 

 

    

  

 

 

 

 

  

 

ko’rinishdagi sistemaning yechimini hosil qilamiz.◄