Toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

Аbdirasilov S.F. – candidate of pedagogical sciences, professor of Tashkent state pedagogical 
university 
Xasanova M.А.  - PhD student of Tashkent state pedagogical university 
 
Annotation. Article it is devoted studying of the cores concept of fractals of the fine arts and of 
human life, definition of fractals and properties of fractals. Concepts of fractals of the fine arts are 
considered. Any natural being is formed on a basis “фрактальной systems" natural selection. 
Key words: the fine arts, a fractal, fractal geometry, fractal the form, a fractal structure, fractal 
system, an aesthetics, gold section.
Fraktal deb ataluvchi shakllarni biz tabiatning oʼzida, tasviriy sanʼat, arxitektura, meditsina kabi koʼp 
sohalarda, insonning tana tuzilishida, moddiy olamning tizim sifatida shakllangan barcha elementlarida 
kuzatishimiz mumkin. Biologiyada ham u mavjud. Tabiatdagi har bir jonzod yoki oʼsimlik tabiiy tanlovning 
fraktal tizimi asosida rivojlanadi. Fraktallar bizning nafas olishimizda ham, qonimizning aylanishida ham, 
yuragimizning oʼrib turishida ham ishtirok etadi. Oddiy gap bilan aytganda, fraktallar hayot faoliyatining 
mohiyatini tashkil etadi. Bunday mohiyatni anglashda yangicha dunyoqarashga ega boʼlgan olim dunyoga 
kelishi kerak edi. “Tartibsiz boʼlib koʼringan bu olamni qanday tartib-qonuniyat ushlab turibdi?” degan 
savolga “Fraktal geometriya” deb nomlangan yangi ilmiy dunyoqarash oʼz yechimini bergan
1
.
Tabiatdagi shakllarning koʼpchiligi matematika nuqtai nazardan fraktallar hisoblanadi. Fraktal bu 
geometrik nazariya emas, u tadqiqotchini dunyoga yangicha nazar bilan qarashga undovchi kontseptsiya, 
avvaldan yaxshi maʼlum boʼlgan narsalarga yangicha nuqtai nazar bilan qarash, borliqni idrok qilishni 
oʼzgartirishdir. 
Zamonaviy matematik modellar shunchalik darajada goʼzal, maftunkor va sirliki, ular taʼsirchan talaba 
va tadqiqotchi olimlarni aqldan ozdirishi mumkin. Fraktallarning turli ranglardagi tasvirlari oʼzining misli 
koʼrilmagan uygʼunligi bilan kishini hayratga soladi. 
«Fraktallar va sanʼat ilm uchun» nomli ilmiy maqolasida «Oddiy qurilish qoidasi asosida aniqlangan 
shaklni geometriyadan behabar boʼlgan inson mavjud estetik qadriyati sifatida – xuddi, hayron qolarli 
darajadagi dekorativ yoki balki sanʼat asari kabi idrok etishi mumkinmi?» deb oʼz fikrini bayon qiladi. 
Mandelьbrotning toʼliq javobi: «Аgarda geometrik shakl boʼlsa - fraktal, unda javob - ha»
2
.
А.V. Voloshinovning «Sanʼatning fraktalligi va fraktallar etetikasi haqida»gi tadqiqot izlanishida 
fraktallar estetikasining muhim xususiyatlarini ajratib bergan:
- koinot va oʼta tartibsizlikning monandligi – oʼta tartibsizlikning geometriyasidan, tartibning tugʼilishi, 
va tartib geometriyasidan, oʼta tartibsizlikning paydo boʼlishi; 
- oʼz-oʼziga oʼxshash, yoki turli tumanlikda bir xillik; 
- oddiylikda goʼzallik; 
- oltin kesim – sanʼatning eng muhim fraktali
3
.
Hozirgi vaqtda dastlabki bilimlarga boʼlgan talablar yuqori boʼlmasa ham, haqiqatda esa, madaniyat 
va sanʼat sohasida, tabiiy fanlar ilmiy yutuqlarini qoʼshib, shaxslarning falsafiy fikr yuritish moyilligini 
1
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ижевск, 2010. - 656 с. C.16. 
2
Madelbrot B.B. Fractals and an Art for the Sake of Science. Leonardo. Supplemental Issue, Vol. 2, Computer Art in Context: SIGGRAPH '89 Art Show 
Catalog (1989), pp. 21-24. P.21. 
3
Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 1992. - 335 с. C.125. 

---

21 
TDPU ILMIY AXBOROTLARI PEDAGOGIKA 2019/3(20)
rivojlantirish zarur. Mazkur maqolada zamonaviy tasviriy sanʼat asarlari, kompyuter grafika texnikasida 
bajarilgan, u yoki bu maʼnoda fraktal tabiatini oʼz ichiga olgan art-ob’ektlar va sanʼat ustalar ishini koʼrib 
chikish niyatidamiz. Bizning kontekstimizda fraktal faqat sanʼat asari kabi talqin qilinadi. Аvvalo, 
boshlanishiga aslida fraktallar oʼzi nimani anglatadi.
Fraktal – bu oʼz-oʼziga oʼxshashlik xususiyatiga ega yaʼni, har biri butun shaklni takrorlovchi bir nechta 
qismlardan tashkil topgan geometrik shaklni bildiruvchi atama.
Fraktal soʼzi lotincha «fractus» soʼzidan olingan boʼlib, «boʼlaklangan», «qismlardan tashkil topgan» 
degan maʼnoni anglatadi va u «fraction, fractional» (boʼlish, boʼlinma) terminlaridan kelib chiqqan. Hozirgi 
kunga qadar fraktal tushunchasi aynan taʼrifga ega emas, biroq matematik nuqtai nazardan fraktal - bu 
kasrli oʼlchamlar toʼplamidan iboratdir
4
.
Fraktal va fraktal geometriya tushunchasi 20-asrning 70-80 yillari oʼrtalarida matematiklar hamda 
dasturchilarning ilmiy izlanishlariga qatʼiy ravishda kirib keldi. 
Fraktal tushunchasini Benua Mandelbrot oʼylab topgan (lotin tilida fractus, singan, boʼlingan degan 
maʼnoni anglatadi). Mandelbrot 1975 - yilda oʼzining “Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension” 
(“Fraktal obʼektlar: shakl, tasodifiylik va oʼlchamlar”) nomli kitobida fraktallarni tushuntirib beradi. Ushbu 
kitobda Mandelbrot birinchi marta “fraktal” atamasini, oldindan aytib boʼlmaydigan va ajablanarli holatni 
namoyish qiluvchi, kamdan - kam uchraydigan matematik hodisani belgilashda qoʼllaydi. Ushbu favqulodda 
hodisalar qandaydir egri chiziqni yoki toʼplamni olish uchun rekursiv algoritmdan foydalanish paytida 
yuzaga kelgan. Mandelbrot toʼplami – oʼzining tadqiqotchisi nomi bilan atalgan shunday hodisalardan 
biridir. 
Fraktallarning asosiy xususiyati – oʼz-oʼziga oʼxshash yoki cheksiz qaytarilishi. Fraktal geometriyaning 
paydo boʼlishi 1977 - yili nashrdan chiqqan, Benua Mandelbrot tomonidan yozilgan «The Fractal Geometry 
of Natur» (Tabiatning fraktal geometriyasi) nomli kitob bilan bogʼliqdir. Mandelbrot ushbu kitobida 1875-
1925 yillarda shu sohada ishlagan bir necha olimlarning (Puankare, Fatu, Jyulia, Kantor, Xausdorf va 
boshqalar) ilmiy izlanishlari natijalaridan keng foydalangan.
Yanada kengroq maʼnoda aytadigan boʼlsak, “fraktal” soʼzi matematik ibora hisoblanmaydi va qatʼiy 
matematik taʼrifga ega emas. U quyida sanab oʼtiladigan xususiyatlardan birortasiga ega boʼlgan shakl 
tadqiq qilinayotgan paytda qoʼllanilishi mumkin: 
1. Barcha darajalarda tartibli tuzilmaga ega. Ularning muntazam shakllardan farqi ham shunda 
(aylana, ellips, funktsiyaning ravon grafigi): agar biz muntazam shaklning kichik boʼlagini juda katta 
masshtablarda qarasak, u toʼgʼri chiziq boʼlagiga oʼxshaydi. Fraktal uchun masshtabning oshishi tuzilmaning 
soddalashishiga olib kelmaydi, barcha darajalarda biz bir xil murakkab manzarani koʼramiz. 
2. Oʼz-oʼziga oʼxshash yoki oʼz-oʼziga oʼxshashlikga yaqin xususiyatga ega. 
3. Rekursiv (lot. «recursio - kaytish» – utganga kaytishi, ilgariga) tartib yordamida qurilish mumkin. 
Yuqorida aytib oʼtganimizdek, fraktal aniq bir taʼrifga ega emas, biroq adabiyotlarda unga berilgan 
turlicha taʼriflarni uchratamiz
5
.
Fraktal - u geometrik fraktal boʼlib, qismlardan tashkil topgan hamda ularning har biri butun 
fraktalning nusxasini kichiklashtirgan holatini ifodalaydi. Fraktal - aniq bir qism oʼlchamini oʼzgartirgan holda 
qayta va qayta takrorlovchi geometrik shakldir. Fraktal - qismlardan tashkil topgan, qaysidir maʼnoda 
toʼlaligicha oʼz-oʼziga oʼxshash tuzilishdir.
Fraktallar tuzilishi, nafaqat, badiiy goʼzalligi bilan oʼziga jalb etadi, balki iqtisodiy jihatdan ham juda 
foydalidir. XX asrning 90-yillarida Boston shahrida yashovchi yosh olim Natan Kyuxen elektron aloqani 
fraktallar yordamida oʼrnatgan. U radioga juda qiziqqani uchun, oʼzi yashaydigan koʼpqavatli uyning tomida 
katta radioantenna oʼrnatmoqchi boʼladi. Аmmo uyning xoʼjaini unga ruhsat bermagan. Shunda u fraktal 
strukturaga ega boʼlgan antennani kashf etib, uning hajmini shu darajada kichraytiradiki, uy xoʼjainining 
eʼtiroziga oʼrin qolmaydi. Koxenning eksperimentlari shunday yangi ixtiroga olib keladiki, fraktallar, 
antennaning masshtabini kichraytirish hisobiga, radiotoʼlqinlarning diapazonini yanada kengaytirishiga 
imkon beradi. Natijada telefonlarning xizmat qilish doirasi yanada takomillashtiriladi. 
4
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ижевск, 2010. - 656 с. C. 175. 
5
Федер Е. Фрактали. Пер. с англ.

М.: Мир,1991.

254 с. (Женс Федер, Пленум Пресс, НеwЁрк, 1988). C.175. 

---

22 
TDPU ILMIY AXBOROTLARI PEDAGOGIKA 2019/3(20)
Sogʼlom odamning yurak urish-ritmi ham fraktal strukturasiga ega. Fraktal strukturaning buzilish 
darajasini aniqlagan holda yurak bilan bogʼliq kasalliklarning oldini olish mumkin ekan. Insonning koʼz 
qarashidagi harakati ham fraktal strukturadan iborat. Ilmiy maʼlumotlar shuni koʼrsatdiki, obʼektlarni 
oʼrganishda koʼzlar har doim ham ularni diqqat bilan, sinchiklab, bir tekis kuzatgan holda maʼlumot 
toʼplamas ekan. 
Tibbiyot sohasida shunday davr keladiki, fraktal strukturalar yordamida rak kasalliklarning oldini olish 
va davolash mumkin boʼladi. 
V. Kandinskiy fikriga koʼra «Mavjud belgilar ramzlar boʼlib tashkil topa boshlangan joyda, zamonaviy 
sanʼat vujudga kelishi mumkin»
6
.
Tabiatda faqatgina oʼsimlik dunyosida emas, daryolar yoʼli, hayvonlar, insonlar qon tomirlari va asab 
sistemalarining tuzilishida ham fraktallik mavjudligi aniqlangan. Madomiki, atom modellari, quyosh 
sistemasi va galaktika strukturasi oʼrtalarida oʼxshashlik bor ekan, ular ham fraktal tuzilishga ega boʼlsa, ajab 
emas. Kepler oʼzining mashhur “Olam garmoniyasi haqida asarini olam tortishuv qonuniyati bilan goʼzallik 
qonuniyatlari orasida ajratib boʼlmas darajadagi buyuk oʼxshashlikdan hayratlanib va zavqlanib yaratgani 
bejiz boʼlmasa kerak. Tasviriy sanʼatda, umuman har bir rassom ijodida inson bosh va gavda tuzilishlaridagi 
fraktallikni sezish va uni tomoshabinlarga yetkaza bilish beqiyos ahamiyatga ega. Аyniqsa, portret sanʼatida 
yuz tuzilishdagi oʼxshamagan aʼzolar oʼrtasidagi “oʼxshashlikni” sezish (masalan, burun qanotlari bilan jagʼlar 
oʼrtasidagi, burunning pastki asosi - kichik trapetsiya shakli bilan pastki jagʼlar va daxan osti - katta 
trapetsiya oʼrtalaridagi oʼxshashlik) hamda boshqa aʼzolararo formalarning “qofiyadoshligini” sezdira bilish 
asar badiiyligiga jon va joziba baxshida etuvchi omillardan biri boʼlib kelgan. 
Sanʼat asarlari tabiiy formalardagi betakror garmoniyalarni oʼzida aks ettirar ekan, uning obrazlari 
ham, albatta, betakrorlik kasb etmogʼi darkordir. 
Yaxlitlik sistemasining ichki garmoniyalari sanʼat asarlarida qay darajada oʼz aksini topishi mumkin, 
degan savolga javob sifatida Sandro Bottichellining yon tomondan tasvirlangan “Yosh ayol portreti”ni 
tomosha qilishni tavsiya qilamiz. 
Peshona chizigʼi burun ustida ham takrorlanib (faqat boshqacharoq yoʼnalishda), ikkala sirt hosil 
qilgan oʼtmas burchak burun uchining peshona va dahan bilan tashkil qilgan oʼtmas burchagiga 
monandligiga eʼtibor bering. Peshona bilan burun tashkil qilgan oʼtmas burchak (birlamchi ritm) portretning 
koʼkrak va qorin, orqa boʼyin va yelka sirtlarida, hattoki buklangan yelka va tirsak sathida ham fraktal 
ravishda takrorlanayotganligi shohidi boʼlamiz. Portretning peshona, burun, dahan, boʼyin oraliqlaridan (fon 
tomonida) portret tirajining kichikroq masshtabidagi aksiyaviy (kuzguda aks etgan) variantlarini ham koʼzga 
tashlanishi garmoniya qonuniyatlari sanʼat asarida qoʼllanishidan dalolatdir. 
Ikkita yaxlitlik sistemalari oʼrtasidagi garmonik munosabatlar qay tarzda amalga oshirilishiga 
Leonardo da Vinchining “Oq suvsar ushlagan ayol' portreti misol boʼla oladi. 
Diqqat bilan kuzatsangiz, bir biriga tamomila oʼxshamagan ayol va oq suvsar rassom asarida koʼp 
jihatlar bilan oʼxshab ketganini koʼrasiz. Аyol gavdasini chapga, yuzini oʼng tomonga burganligiga goʼyo oq 
suvsar aksiy taklid qilayotgandek, ayolning oʼng qoʼli, oq suvsar chap qoʼlchasining koʼtarilganligi, 
koʼzlarining bir xil aniqlikda oʼqilishi, ikkalasining meʼyorda yoritilganligi ayol qoʼl barmoqlari yigʼindisining 
koʼrinishi oq suvsar tumshugʼiga oʼxshab ketish hollariga rassomning nozik ishorasi, begʼuborlik, latofat va 
ziyraklik kabi xislatlari har ikki obrazni koʼp jihatdan bir- biriga juda oʼxshash qilib yuborgan. 
Fraktallik kontseptsiyasini vujudga kelishi rangtasvirda fraktal ekspressionizm yoki «fraktalaj», 
analogik fraktal rangtasviri Derek Nilsen, fraktal monotipiya Lea Livshits
7
, fraktal abstraktsiya Viktor Ribas
8
, 
fraktal realizmi Vyacheslav Useinov
9
va Аleksey Sundukov
10
, fraktal suprematizmi (V. Ribas, S. Golovach, А. 
6
Wassily Kandinsky. Ed. M. Bill. With contributions from J. Arp, Ch. Estienne, C. Giedon-Welcker. P.124. 
7
Fractals as Art. (Editorial). YLEM #4, V.20, March-April, 2000.
http://www.ylem.org/Journal/2000MarApril-clr.pdf 
8
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2006 
9
Тарасенко В.В. Человек Кликающий: фрактальные метаморфозы.  http://www.synergetic.ru/fractal/chelovek-klikayuschiy-fraktalnye-
metamorfozy. html 
10
Рибас В. Фрактальная абстракция. http://artgals.info/afisha/details /2613-1; http://www. ribas.ru /index-rus.html 

---

23 
TDPU ILMIY AXBOROTLARI PEDAGOGIKA 2019/3(20)
Rabotnov, А. Pettay i dr.) kabi yangi shakllarni paydo boʼlishiga olib keldi. Turli kompozitsiyadagi fraktallar 
tasvirlangan kartinalar koʼpchilik koʼrgazmalarda namoyish etilmoqda.