Parametrga bog’liq xosmas integrallar va ularning funktsional xossalari mundarija: kirish I bob. 1-2-tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

Eyler integrallari (Beta va Gamma funksiyalar)
a) Beta funksiya (1-tur Eyler integrali) va uning xossalari


1-Ta`rif. Quyidagi
(15)
integralga Beta funksiya yoki 1-tur Eyler integrali deyiladi.
Beta funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   (15)-integral to`plamda yaqinlashuvchi, to`plamda esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Natija. Agar bo`lsa,
(16)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(16) dan

5. 
   va uchun
   

(17)
tenglik o`rinli.
Natija.

b) Gamma funksiya (2-tur Eyler integrali) va uning xossalari.
2-Ta`rif. Quyidagi
(18)
integralga Gamma funksiya yoki 2-tur Eyler integrali deyiladi.
Gamma funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   
   
2. 
   (18)-integral oraliqda yaqinlashuvchi, kesmada esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
3. 
   va uchun
   

4) (19)
Natija.
Beta va Gamma funksiyalar orasidagi bog`lanishni quyidagi teorema ifodalaydi.
Teorema. uchun
(20)
tenglik o`rinli.
Natija. uchun
(21)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar (21)-tenglikda desak
(22)
bo`ladi.
Eyler integrallari yordamida ko`pgina xosmas integrallarni hisoblash ancha osonlashadi.
Misollar.

1. 
   Eyler-Puasson integrali hisoblansin.
   

2. 
   xosmas integral hisoblansin.
   

X u l o s a

Ushbu kurs ishida parametrga bog’liq xosmas integrallar va ularning funksional xossalari qaralgan bo’lib, bunda haqiqiy sonlar qatori uchun quyidagi Eyler teoremasi mavjud bo’lib, u quyidagicha bayon etiladi: Agar haqiqiy sonlar qatori absolyut yaqinlashmasa, u holda uning hadlarining o’rinlarini almashtirish yordamida yig’indisi oldindan berilgan ixtiyoriy haqiqiy songa teng bo’lgan qator tuzish mumkin.

Tabiiyki, shartli yaqinlashuvchi qatorlarning yig’indilar sohasini tadqiq etish haqida savol tug’iladi. Ushbu teorema haqiqiy sonlar uchun bayon etilgan bo’lib, keyinchalik bu teoremani n-o’lchamli fazo elementlari uchun qo’llash masalasi ko’plab matematik olimlarni o’ylantirib keladi va olimlar ilmiy izlanishlarida Riman teoremasini n-o’lchamli fazo uchun qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga urinib ko’radilar. Eyler o’zining ilmiy izlanishida Riman teoremasiga o’xshash teoremani ayrim xatoliklar bilan isbotlagan. Biroz keyinroq, Shteynits o’z ishlarida dastlab Eyler tomonidan yaratilgan teoremaning to’la isbotini keltiradi.
Mazkur kurs ishida ham bog'liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma ketligi uchun markaziy limit teoremasini qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga bag’shlangan bo’lib, bunda ushbu maqsad yo’lida mavzular atroflicha o’rganib chiqildi. Ushbu kurs ishini yozish davomida Eyler hamda Shteynitslarning ilmiy izlanishlari natijasida erishgan natijalari o’rganildi. Keltirilgan teorema va lemmalar isbotlandi hamda Orlich tomonidan bayon etilgan sharsiz hamda absolyut yaqinlashish haqidagi teorema isbotsiz keltirildi. Mazkur ishdan talabalar, ilmiy izlanuvchilar foydalanislari mumkin.