O’zgarmas predmetlar va o’zgaruvchi

O’zgarmas predmetlar va o’zgaruvchi
mulohazalar
Reja:
1. Diskret matematika va matematik mantiq tarixi va uning asoslari.
2. Bul algebrasi .
3. Paskal uchburchagi .
Nyuton binomi .
4. Graflar nazariyasining paydo bo’lishi.

Mantiq – muhokama yuritishning qonun-qoidalari, usullari va formalari (shakllari) haqidagi fan bo‘lib, uning asoschisi qadimgi yunon mutafakkiri Aristotel (miloddan avvalgi 384-322 y.) hisoblanadi. U birinchi bo‘lib deduksiya nazariyasini, ya’ni mantiqiy xulosa chiqarish nazariyasini yaratib, mantiqiy xulosa chiqarishning formal xarakterga ega ekanligini ko‘rsatdi. Aristotelning mantiqiy ta’limoti formal mantiqning (logikaning) asosini tashkil qiladi. Formal mantiq fikrlashning formalari va qonunlarini tekshiradi. Shunday qilib, Aristotel mantiqiy fikrlashning asosiy qonunlarini ochdi. Aristotel asos solgan mantiq ko‘p asrlar davomida turli mutafakkirlar, faylasuflar va butun falsafiy maktablar tomonidan to‘ldirildi, o‘zgartirildi va takomillashtirildi. Shu jumladan, Abu Nasr Farobiy, Abu Ali Ibn Sino, Abu Rayxon Beruniy, Muhammad al-Xorazmiy, Umar Xayyom, Alisher Navoiy, Mirzo Bedil kabi Sharqning buyuk mutafakkirlari ham o‘zlarining katta hissalarini qo‘shdilar. Mantiqning yangilanishida fransuz olimi R.Dekartning (1596-1650) ishlari muhim rol o‘ynadi. R.Dekart analitik usulda fikrlashning asosiy prinsiplarini yaratdi.

Olmon faylasufi va matematigi G.Leybnis (1646-1716) birinchi bo‘lib mantiqiy fikrlashga hisob xarakterini berish zarur degan g‘oya bilan chiqdi. Buning uchun, uning fikricha, hamma ilmiy tushunchalar va mulohazalarni asosiy mantiqiy elementlarga keltirib, ularni ma’lum simvollar bilan belgilash kerak.
G.Leybnis g‘oyalari faqat XIX asrdagina o‘z rivojini topdi. Ingliz olimlari J.Bul (1815-1864), Ch.Pirs (1839-1914), B.Rassel (1872-1970), A.Uaytxed (1861-1947), U.Jevons (1835-1882), olmon olimlari G.Fryoge (1848-1925), D.Gilbert (1862-1943), E.Shryoder (1841-1902), shotlandiyalik matematik O. de Morgan (1806-1871), rus olimlari P.S.Poreskiy (1846-1907), V.I.Glivenko (1897- 1940), I.I.Jegalkin (1869-1947) va boshqalar mantiq sohasidagi ishlari bilan simvolik yoki matematik mantiqni (logikani) yaratdilar. Matematik mantiq asoschilaridan biri bo‘lgan J.Bul (J.Bul mashhur «So‘na» romanining muallifi Lilian Voynichning otasidir) mustaqil ravishda grek, lotin, nemis, fransuz va italyan tillarini hamda matematikani o‘rganadi. U 1847 yilda yozilgan «Mantiqning matematik tahlili», «Mantiqiy hisob» va 1854 yilda yozilgan «Fikrlash qonunlarini tadqiq etish» kitoblarida mantiqni algebraik formaga keltirdi va matematik mantiqning aksiomalar sistemasini yaratdi. Bulning mantiqiy hisobi bul algebrasi deb yuritiladi. J.Bul mantiq va matematika operatsiyalari o‘rtasidagi o‘xshashlikka asoslanib, mantiqiy xulosalarga algebraik simvolikani qo‘lladi. U mantiq operatsiyalarini formallashtirish (rasmiylashtirish) uchun quyidagi simvollarni (belgilarni) kiritdi:
– predmetlarni belgilash uchun ( x , y , z , ...) lotin alifbosining (alfavitining) kichik harflarini;
– predmetlar sifatini belgilash uchun ( X , Y , Z , ...) lotin alifbosining bosh harflarini;
– biror mulohazaga akslantirilgan hamma predmetlar sinfi 1 ni;
– ko‘rilishi lozim bo‘lgan predmetlar yo‘qligining belgisi 0 ni;
– mulohazalarni mantiqiy qo‘shishning “+” belgisini; – mulohazalarni mantiqiy ayirishning “–” belgisini;
– mulohazalar tengligining “=” belgisini.

Simvolik bul algebrasida mantiqiy ko‘paytirish amali, xuddi algebraik qiymatlarni ko‘paytirishdagidek kommutativlik

xy yx
va assotsiativlik
x( yz)  (xy)z
xossalariga ega. Mantiqiy qo‘shish amali ham kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega:
x  y  y  x , (x  y)  z  x  ( y  z) .
Bul algebrasida yig‘indi ko‘paytmaga nisbatan distributivlik qonuniga bo‘ysunadi:
x( y  z)  xy  xz .
J.Bul algebraik simvolikalar yordami bilan hamma mantiqiy operatsiyalarni ikki qiymatli (1 va 0) algebra qonunlariga bo‘ysunadigan formal (rasmiy) operatsiyalarga keltirishni o‘yladi. Bul funksiyalari va uning argumentlari faqat ikki qiymat – «chin» va «yolg‘on» qiymatlar qabul qiladi. Mantiq algebrasi qoidalari orqali oddiy mulohazalardan murakkab mulohazalarni hosil qilish mumkin. Masalan:
xy – bir vaqtda x va y xossalarga ega bo‘lgan predmetlar klassi;
x(1 y) – x xossaga ega va y xossaga ega bo‘lmagan predmetlar klassi;
(1 x) y – y xossaga ega va x xossaga ega bo‘lmagan predmetlar klassi;
(1 x)(1 y) – x va y xossalarga ega bo‘lmagan predmetlar klassi. Hozirgi matematik mantiq fanini yaratishda fundamental rol o‘ynagan Bul simvolik logikasi mukammallashtirishga muhtoj edi. Masalan, Jevons fikricha mantiqiy ayirish operatsiyasi ayrim noqulaylikka olib keladi.
O. de Morgan Bul g‘oyalarini rivojlantirib, mantiq hisobini ehtimollar nazariyasi teoremalarini asoslashga tatbiq etdi va simvolik hisobni yaratish ustida ishladi. Ch.Pirs matematikani analiz qilishda mantiqiy munosabatlarni qurol sifatida ishlatishni asoslab berdi, u G.Fryoge ishlaridan xabarsiz holda, mantiqqa kvantor tushunchasini kiritdi. G.Fryoge matematika prinsiplarini mantiq prinsiplaridan keltirib chiqarish ustida ishlab, mantiq hisobini yaratdi.
Matematik mantiqni texnikaga qo‘llashni birinchi bo‘lib rus fizigi P.Erenfest (1910) va gidrotexnika qurilishlari bo‘yicha yetuk mutaxassis N.M.Gersevanovlar amalga oshirganlar. K.Shennon hisoblash mashinalarini yaratishning asosiy metodi sifatida mantiq algebrasini bilgan, u informatsiya va informatsiyani uzatishning matematik nazariyalarni yaratdi, elektron tarmoqlardagi “1” va “0” binar munosabatlar bilan matematik mantiqdagi ikkilik (1 va 0) qiymatlarining mos kelishini va qanday qilib “mantiq mashinasini” yaratishni ko‘rsatdi va hokazo. Kontakli va rele-kontakli sxemalarga mantiq algebrasini tatbiq etishning isbotini birinchi bo‘lib V.I.Shestakov va K.Shennonlar berdi. A.Nakashima va M.Xanzava matematik mantiqni diskret texnika masalalarini yechishda qo‘llash metodlarini yaratdilar. S.Klini diskret qurilma modelini (chekli avtomat modeli) yaratgani tufayli, matematik mantiqni xotirali diskret qurilmalarni loyihalashda ishlatish imkoni yuzaga keldi. Moskva davlat universiteti diskret matematika maktabining asoschilaridan biri O.B.Lupanovning asosiy ishlari matematik kibernetika va matematik mantiqqa bag‘ishlangan. U murakkab boshqaruvchi sistemalarning asimptotik qonuniyatlarini, kontakt sxemalar va funksional elementlardan yasalgan sxemalarni (umuman asosiy boshqaruvchi sistemalarni), eng yaxshi asimptotik sintez metodlarini va lokal kodlash prinsipini ishlab chiqdi. S.V.Yablonskiy optimal sxemalarni sintez qilish va hisoblash qurilmalarini yasash metodini yaratdi.
Mantiq algebrasi elektr sxemalarni loyihalashda va tekshirishda, avtomatik hisoblash mashinalarini loyihalash va programmalashda, diskret avtomatlarni mantiqiy loyihalashda, EHM elementlari va qismlarini loyihalashda, har xil texnik sistemalar, qurilmalar va avtomatik mashinalarni analiz va sintez qilishda keng miqyosda tatbiq etiladi. Matematik mantiq fani elektron hisoblash mashinalarining vujudga kelishiga va uni mukammallashtirishga katta hissa qo‘shdi. Kombinatorika muammolari bilan XI-XV asrlarda Sharq olimlari, jumladan, Bxaskara Acharya, Nosir ad-Din-Muhammad at-Tusiy, Ali Qushchi, Umar Hayyom shug‘ullanib, olamshumul ahamiyatga ega bo‘lgan ilmiy natijalar olishgan
Ilmiy adabiyotda Paskal uchburchagi deb ataluvchi sonlar jadvali Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, Sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan: Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilgan. XVI asrga kelib G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya, 1631 yilda U. Otred ham shug‘ullanishgan. Faqatgina 1654 yilga kelib B. Paskal bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida e’lon qildi. Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun n (a  b) ifodaning ko‘phad shaklidagi yoyilmasi XVII-XVII asrlarda yashagan Nyuton nomi bilan Nyuton binomi deb yuritiladi. Vaholangki, qadimgi greklar n (a  b) ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n  2 bo‘lgan holida bilishgan bo‘lsa, Umar Hayyom (1048-1122) va Ali Qushchi (1436 yilda vafot etgan) bu ifodani n  2 bo‘lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767 yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo‘llagan. Hozirgi vaqtda kombinatorik tahlil masalalari, asosan, uch turga bo‘linadi. Birinchi tur masalalar elementar kombinatorika masalalari deb yuritiladi va ular, ko‘pincha, berilgan to‘plam elementlari bilan bog‘liq mumkin bo‘lgan yechimlar sonini aniqlashga keltiriladi. Mumkin bo‘lgan kombinatorik yechimlar, ularning mavjudligi va shu kabi masalalar ikkinchi tur masalalar jumlasiga kiradi. Uchinch tur kombinatorik masalalar vositasida mumkin bo‘lgan kombinatorik yechimlar orasidan qandaydir maqsadni ko‘zlab optimal yechim topish bilan bog‘liq savollarga javob topishga harakat qilinadi. Kombinatorik tahlil diskret matematikaning nazariy asoslaridan biridir. Bu tahlilni amalga oshirishda tanlashlar sonini bevosita aniqlash usuli, hosil qiluvchi funksiyalar usuli, mantiqiy, ekstremal, geometrik, jadval-sxema va boshqa usullardan foydalaniladi. 1736 yilda L. Eyler tomonidan o‘sha davrda qiziqarli amaliy masalalardan biri hisoblangan Kyonigsbergko‘priklari haqidagi masalaning qo‘yilishi va yechilishi graflar nazariyasining paydo bo‘lishiga asos bo‘ldi. XIX asrning o‘rtalarida graflar nazariyasi bilan bog‘liq tadqiqotlar G. Kirxgof va A. Keli ishlarida paydo bo‘ldi. “Graf” iborasi D. Kyonig tomonidan 1936 yilda graflar nazariyasiga bag‘ishlangan dastlabki darslikda5 uchraydi.
Matematik mantiqning mulohazalar algebrasi deb atalgan ushbu bo‘limida asosiy tekshirish ob’yektlari bo‘lib gaplar xizmat qiladi. Mulohazalar algebrasida ma’nosiga ko‘ra chin (rost, haqqoniy, to‘g‘ri) yoki yolg‘on (noto‘g‘ri) bo‘lishi mumkin bo‘lgan gaplar bilangina shug‘ullaniladi. Mulohazalar algebrasi mantiq algebrasi deb ham yuritiladi. 1- m i s o l . “Toshkent – O‘zbekistonning poytaxti.”, “Oy yer atrofida aylanadi.” va “Agar fuqaro oily ta’lim muassasalaridan birini muvaffaqiyatli tamomlasa, u holda unga oily ma’lumotliligini tasdiqlovch diplom beriladi.” degan gaplarning har biri chin, ammo “Yer oydan kichik.”, “3  5 .” va “Ot, qo‘y, echki, it va mushuk uy hayvonlari emas.” degan gaplarning har biri esa yolg‘ondir.

1. 
   t a ’ r i f. Ma’nosiga ko‘ra faqat chin yoki yolg‘on qiymat qabul qila oladigan darak gap mulohaza deb ataladi. Bu ta‘rifga ko‘ra har bir mulohaza muayyan holatda chin yoki yolg‘on bo‘lishi mumkin. Mulohazalarni belgilash uchun, asosan, lotin alifbosining kichik harflari (ba’zan indekslari bilan) ishlatiladi:
   

a, b, c,..., u, v, ..., x, y, z .
Shunday mulohazalar borki, ular mumkin bo‘lgan barcha hollarda (vaziyatlarda) ch (yoki yo) qiymat qabul qiladi. Bunday mulohazalar absolyut chin (yolg‘on) mulohazalar deb ataladi. Mulohazalar algebrasida, odatda, muayyan o‘zgarmas mulohazalar (ch, yo) bilangina emas, balki istalgan mulohazalar bilan ham shug‘ullaniladi. Bu esa o‘zgaruvchi mulohaza tushunchasiga olib keladi.
Agar berilgan mulohazani x deb belgilasak, u holda x ch yoki yo qiymat qabul qiladigan o‘zgaruvchi mulohazani ifodalaydi. Faqat bitta tasdiqni ifodalovchi mulohazani elementar (oddiy) mulohaza deb hisoblaymiz. Elementar mulohazalar qatoriga ch, yo o‘zgarmas mulohazalar ham kiradi. O‘zbek tilidagi “emas”, “yoki”, “va”, “agar ... bo‘lsa, u holda … bo‘ladi”, “shunda va faqat shundagina ...., qachonki ....” so‘zlar (bog‘lovchilar, so‘zlar majmuasi) vositasida mulohazalar ustidagi (orasidagi) mantiqiy amallar deb yuritiluvchi amallar ifodalanishi mumkin. Bu amallar yordamida elementar mulohazalardan murakkab mulohaza tuziladi (quriladi, yasaladi). 1- misolda bayon etilgan 1-, 2-, 4- va 5- mulohazalar elementar mulohazalarga, 3- va 6- mulohazalar esa murakkab mulohazalarga misol bo‘la oladi.
Mulohazalar ustidagi mantiqiy amallar matematik mantiqning elementar qismi hisoblangan mulohazalar mantiqi, ya’ni mulohazalar algebrasi qismida o‘rganiladi. Har ikkala atama (“mulohazalar mantiqi” va “mulohazalar algebrasi”) sinonim sifatida ishlatiladi, chunki ular mantiqning muayyan qismini ikki nuqtai nazardan ifodalaydi: u ham mantiqdir (o‘z predmetiga ko‘ra), ham algebradir (o‘z usuliga ko‘ra). Mulohazalar algebrasidagi mantiqiy amallar o‘ziga xos xususiyatlarga ega, chunki ularning tarkibiga kiruvchi mulohaza(lar) faqat ikki (ch, yo) qiymatdan birini qabul qilishi mumkin. Mantiqiy amallarni o‘rganishdan oldin bu amallarda qatnashuvchi o‘zgaruvchilar qiymatlari kombinatsiyalari bilan tanishamiz. Berilgan bitta o‘zgaruvchi elementar mulohaza uchun ikkita
(C₁⁰+C₁¹=2¹=2)
mumkin bo‘lgan bir-biridan farqli qiymatlar satrlari bor:
yo, ch.
Agar biror amal tarkibiga kiruvchi operandlar (parametrlar,
o‘zgaruvchi va hokazo) soni birga teng bo‘lsa, u holda bunday amal unar amal deb, operandlar soni
ikkiga teng bo‘lganda esa, binar amal deb
yuritiladi.
Inkor amali mulohazalar mantiqining eng sodda amallaridan biri bo‘lib, u
unar amaldir, ya’ni inkor amali bitta elementar mulohazaga nisbatan qo‘llaniladi.
2- t a ’ r i f . Berilgan x elementar mulohaza chin bo‘lganda yo qiymat qabul qiluvchi va,
aksincha, x yolg‘on bo‘lganda ch qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x mulohazaning
inkori deb ataladi.
“Berilgan mulohazaning inkori unga inkor amalini qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin.
Inkor amali 1- jadvalda ifodalangan
u² amalidan iborat bo‘lub, unga o‘zbek tilidagi “emas”
sifatdoshi mos keladi. Berilgan x mulohazaning inkori x kabi belgilanadi. x mulohaza “ x emas”
deb o‘qiladi. Inkor amalini belgilashda “ ” belgi ham qo‘llanilishi mumkin. Bu holda x mulohazaning inkori x shaklda yoziladi. x mulohazaning x inkori uchun chinlik jadvali 3- jadval
bo‘ladi (1- jadvalning x va u² ustunlariga qarang). 3- jadvalni inkor amalining ekvivalent ta’rifi
sifatida ham qabul qilish mumkin.
“Bugun havo sovuq.” degan elementar mulohazasi x bilan
b elgilangan bo‘lsa, uning inkori x “Bugun havo sovuq emas.” ko‘rinishdagi

x	x
y	ch
ch	y

murakkab mulohazadan iboratdir.